1. Estatistika deskribatzailea.
Aldagai bakuna
1.1. SARRERA
Estatistika multzo bati dagozkion zenbakizko datuak biltzen, sailkatzen eta aztertzen
dituen zientzia da. Estatistikaren barruan bi arlo nagusi bereiz daitezke: Estatistika
Deskribatzailea eta Estatistika Induktiboa. Estatistika deskribatzailearen bidez, aztergai
den multzoari dagozkion datuak bildu, antolatu eta egoera deskribatzeko ezaugarriak
lortuko dira. Estatistika induktiboaren bidez, aldiz, emaitzak orokortu, ondorioak atera edo
aurresanak egin daitezke.
Azterketa estatistikoa multzo batean gauzatuko da. Multzo oso horri populazioa
deritzo. Hala ere, kasu gehienetan azterketa populazioaren azpimultzoetan egiten da.
Populazioaren edozein azpimultzori lagina deritzo. Populazioaren elementu bakoitza
unitate estatistiko edo ale estatistikoa da. Populazioaren (edo laginaren) tamaina
populazioaren (edo laginaren) elementu-kopurua da.
Azterketa estatistikoan aztergaiak har ditzakeen balioek aldagai estatistikoa deter-
minatzen dute. Aldagaiak hartzen dituen balioak zenbakiak badira, aldagai kuantitatiboa
dugu. Aldagaiak hartzen dituen balioak zenbakizkoak ez badira, aldiz, aldagai kualitatiboa
dugu.
Aldagai aleatorio kuantitatiboak diskretuak edo jarraituak izan daitezke. Aldagai
kuantitatibo diskretuak balio isolatuak hartzen ditu eta aldagai kuantitatibo jarraituak
tarte bateko edozein balio har dezake.
1.2. MAIZTASUN-TAULAK
Datuak bildu ondoren, komeni da datuak ordenatu eta tauletan adieraztea. Horretarako,
honako kontzeptuak hartuko dira kontuan:
1. Modalitateak: xi gaiak dira aldagaiaren balioak. Balio hauek zenbakiak direnean,
oro har, txikienetik handienera ordenatzen dira.
2. Maiztasun absolutuak: fi gaiak balio bakoitza zenbat aldiz jaso den adierazten
du.
3. Maiztasun metatuak: Fi = f1 + f2 + ... + fi maiztasun absolutuen batura da.
Batzuetan interesgarria izan daiteke maiztasun erlatiboa eta maiztasun
metatu erlatiboa kalkulatzea, non laginaren tamaina n eta i = 1, 2, ..., k diren.
Askotan datu-kopurua handia denean, komenigarria da maiztasun elkartuen metodoa
erabiltzea. Horretarako, ondoko pausoak eman daitezke:
i. Aldagai estatistikoaren heina kalkulatuko da, heina balio handienaren eta
txikienaren arteko kendura delarik.
ii. Tartea, azpitartetan edo klasetan banatuko da. Klase-kopurua zehazteko orduan
klase gutxi hartuz gero, informazioa gal daiteke, eta, aldiz, klase gehiegik
azterketa zaildu dezakete. Beraz, klase-kopurua aukera daiteke, non n
gaia laginaren (populazioaren) tamaina den.
iii. Klaseak zehaztuko dira. Praktikan erosoa da [li , li+1 ) erako klaseak
aukeratzea. Klase bakoitzeko balioen ordezkari moduan klase-marka dugu,
hots, tarte bakoitzeko erdiko puntua:
iv. Maiztasunak zenbatu eta taula eratuko da.
1.3. ADIERAZPEN GRAFIKOAK
Adierazpen grafikoak oso lagungarriak izaten dira. Zenbaitetan begirada soil batez bana-
ketaren ideia ematen dute. Aldagaiaren izaeraren arabera, hurrengo adierazpen grafikoak
azter daitezke:
[li , li+1 ) xi fi Fi hi Hi
[l1 , l2) x1 f1 F1 = f1 h1 = f1 /n H1 = F1 /n
[l2 , l3) x2 f2 F2 = f1 + f2 h2 = f2 /n H2 = F2 /n
... ... ... ... ... ...
[lk , lk+1 ) xk fk Fk = f1 + f2 +...+ fk = n hk = fk /n Hk = Fk /n=1
fi
i=1
k
à = n hi
i=1
k
à =1
x
l l
i
i i
=
+ +1
2
.
k n=
H
F
n
i
i
=
h
f
n
i
i
=
12 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
1.3.1. Aldagai kualitatiboaren adierazpen grafikoak
1.3.1.1. Barra-diagrama
Barrez osaturiko diagrama bat da, non abzisa-ardatzean aldagaiaren balioak eta
ordenatu-ardatzean maiztasun absolutuak adieraziko diren. Barrak ez dira elkarturik
egoten.
1.1. irudia.
1.3.1.2. Sektore-diagrama
Zirkulu baten barruan aldagai kualitatiboaren balio bakoitzari dagokion sektorea
adierazten da. Sektore bakoitzaren kalkulurako adierazpena erabiliko da,
non fi maiztasun absolutua eta n laginaren tamaina diren.
i
if
n
= °360
Aldagaia
Kualitatiboa
Barra - diagrama
Sektore - diagrama
Kuantitatiboa
Diskretua
Barra - grafikoa
Maiztasun metatuen grafikoa
Jarraia
Histograma
Maiztasun absolutuen poligonoa
Maiztasun metatuen histograma
Maiztasun metatuen poligonoa
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 13
fi
xi
Jarraitua
Histograma
Maiztasun absolutuen poligonoa
Maiztasun metatuen histograma
Maiztasun metatuen poligonoa
Barra-diagrama
Sektore-diagrama
Barra-grafikoa
1.2. irudia.
1.3.2. Aldagai kuantitatibo diskretuaren adierazpen grafikoak
1.3.2.1. Barra-grafikoa
Abzisa-ardatzean aldagaiaren balioak eta ordenatu-ardatzean maiztasun absolutuak
adierazten dituzten barrez osaturiko grafikoa da.
1.3. irudia.
1.3.2.2. Maiztasun metatuen grafikoa
Grafiko honetan abzisa-ardatzean aldagaiaren balioak eta ordenatu-ardatzean maiz-
tasun metatuak adieraziko dira. Grafiko honek eskailera-itxura du. xj balioari Fj altuera eta
xj+1 balioari Fj+1 altuera emango zaizkie, hurrenez hurren, (xj, xj+1) tarteko balioei Fj
altuerako maila dagokielarik.
14 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
fi
xi
1.4. irudia.
1.3.3. Aldagai kuantitatibo jarraituaren adierazpen grafikoak
1.3.3.1. Histograma
Oinarrian klaseak dituen errektangelu-multzoa da. Klase bakoitza errektangelu baten
oinarria izango da. Klase guztiak anplitude berekoak badira, errektangelu bakoitzaren
altuera klaseari dagokion maiztasun absolutua izango da. Klaseak anplitude berekoak ez
direnean, altuerak fi / di balioak izango dira, non kasu bakoitzean fi maiztasun absolutua eta
di klasearen anplitudea izango diren.
1.5. irudia.
1.3.3.2. Maiztasun absolutuen poligonoa
Aurreko histograman errektangeluetako goiko aldeetako erdiko puntuak lotuz,
maiztasun absolutuen poligonoa eraikiko da.
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 15
Fi
xi
Fj
xj xj+1
fi /di
xi
1.6. irudia.
1.3.3.3 Maiztasun metatuen histograma
Errektangelu-multzo bat da, zeinaren oinarriak klaseak eta altuerak maiztasun
metatuak diren.
1.7. irudia.
1.3.3.4 Maiztasun metatuen poligonoa
Aurreko histograman (li+1, Fi) puntuak lotuz lortuko den poligonoa da.
16 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
xi
xi
fi /di
Fi
1.8. irudia.
1.4. ESTATISTIKO DESKRIBATZAILEAK
Estatistiko deskribatzaileak laginaren menpeko funtzioak dira. Aztergai den fenomenoaren
ezaugarriak era laburtuan deskribatzeko balio dute. Hurrengo taulan zenbait estatistiko
adieraziko dira era laburtuan. Taula azaldu baino lehen ohar batzuk kontuan hartzea
komeni da:
1. X aldagai estatistiko kuantitatiboak x1, x2, ..., xk modalitateak f1, f2, ..., fk maiztasun
absolutuz hartzen ditu eta laginaren tamaina n da.
2. Estatistikoek hurrengo sailkapena onartzen dute: i) joera zentralekoak (batez
bestekoa, mediana, moda), ii) sakabanatzekoak (heina, kuartilarteko heina, ba-
riantza, desbideratze tipikoa, aldakuntza-koefizientea), iii) posiziokoak (pertzen-
tilak, dezilak eta kuartilak) eta iv) formakoak (alborapena, kurtosia).
3. Kasu jarraituan erabilitako notazioa:
li = estatistikoa daukan klasearen behe-muturra
fi = estatistikoa daukan klasearen maiztasun absolutua
di = estatistikoa daukan klasearen luzera
fiÂ1 = estatistikoa daukan aurreko klasearen maiztasun absolutua
FiÂ1 = estatistikoa daukan aurreko klasearen maiztasun metatua
n = laginaren tamaina
4. Bariantza adierazteko V(x), s2 edo s2 (x) notazioak erabil daitezke.
Kurtosiaren adierazpenean, bigarren ordenako momentua bariantza da, m2 = s2
alegia.
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 17
Fi
xi
Estatistikoa Adierazpena Esanahia
Batez besteko
aritmetikoa
Aldagaiak hartzen dituen balio
guztien baturaren eta laginaren
arteko proportzioa da.
Mediana
Kasu diskretua:
· n bakoitia denean, mediana
(n+1)/2 posizioan dagoen
balioa da.
· n bikoitia denean, mediana
n/2 eta (n/2)+1 posizioetako
balioen erdiko puntua da.
Kasu jarraitua:
Bere ezkerrean eta bere
eskuinean ale-kopuru berdina
uzten duen balioa da, eta aldez
aurretik aldagaiaren balioak
ordenatuta izango dira.
Moda
Kasu diskretua:
fi handiena duen xi
Kasu jarraitua:
Maiztasun handieneko balioa
da.
18 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
x
x f
n
i i
i
k
= =
1
M l
n
F
f
de i
i
i
i= +
-
-
2
1
M l do i i= +
+
1
1 2
1
1
1
2
1
1
= - = --
-
+
+
f
d
f
d
f
d
f
d
i
i
i
i
i
i
i
i
,
Heina edo
anplitudea
R = max(xi ) - min(xi)
Laginaren balio handienaren
eta txikienaren arteko kendura
da.
Bariantza Batez bestekoarekiko errore
karratuen batez bestekoa da.
Desbideratze
tipikoa
Bariantzaren erro karratu
positiboa da.
c
parametroarekiko
r. ordenako
momentua
Parametroarekiko erroreen
potentzien baturaren eta
laginaren tamainaren arteko
proportzioa da.
Momentu
zentrala
Aurreko momentuanc = x
eginez lortzen da.
Jatorriarekiko
momentua
c-rekiko momentuan c = 0
eginez lortzen da.
Aldakuntza-
koefizientea
Desbideratze tipikoaren eta ba-
tez bestekoaren arteko zatidura
da. Aldagai batek bi multzotan
edo bi aldagai ezberdinen alda-
kuntza konparatzeko balio du.
k. ordenako
pertzentila
Kasu diskretua:
Esanahia aplikatu.
Kasu jarraitua:
Banaketaren % k balio bere
ezkerrean uzten du, non
k = 1, 2, ..., 99 den.
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 19
V x
x x f
n
x f
n
x
i i
i
k
i i
i
k
( ) =
-( )
= - ( )
=
=
2
1
2
1 2
s x V x( ) ( )=
M c
x c f
n
r
i
r
i
i
k
( ) =
-( )
=
1
m
x x f
n
r
i
r
i
i
k
=
-( )
=
1
a
x f
n
r
i
r
i
i
k
= =
1
CV
s
x
x
x
=
P l
kn
F
f
dk i
i
i
i= +
- -
100
1
1.5. ARIKETA EBATZIAK
1.5.1. ariketa
Ondoko balioak 30 torlojuren lodierak (mm) dira:
Ondoko balioak 30 torlojuren lodierak (mm) dira:
a. Eraiki bedi maiztasun-taula.
b. Irudika bedi barra-grafikoa.
c. Adieraz bedi "oso mehea" = 1, "mehea" = 2, "ertaina" = 3, "lodia" = 4 eta "oso
lodia" = 5 lodierei dagokien sektore-diagrama.
d. Esanahia azalduz, kalkula bitez batez bestekoa, moda, mediana eta desbideratze
tipikoa.
1 2 3 3 2 1 2 5 2 4
4 4 5 3 2 5 3 4 1 4
2 3 1 1 2 5 3 4 1 3
k. ordenako
dezila
D1 P10
D2 P20
..................... .......
D9 P90
Banaketaren % 10k balio bere
ezkerrean uzten du, non
k = 1, 2, ..., 9 den.
k. ordenako
kuartila
Q1 P25
Q2 P50
Q3 P75
Banaketaren % 25k balio bere
ezkerrean uzten du, k = 1, 2, 3
delarik.
Kuartilarteko
heina R1 = Q3 - Q1
3. ordenako eta 1. ordenako
kuartilen arteko diferentzia da.
Alborapena
Banaketaren simetria neurtzen
du.
v > 0 eskuinerantz alboratua
v < 0 ezkerrerantz alboratua
v = 0 banaketa, alboragabea
Kurtosia
Banaketaren zorroztasuna
neurtzen du.
g2 > 3banaketa leptokurtikoa
g2 = 3banaketa mesokurtikoa
g2 < 3banaketa platikurtikoa
20 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
v
x M
sX
=
- 0
g
m
m
2
4
2
2
=
Ebazpena
a. Hasteko, datuak ordenatu eta aldagai kuantitatibo diskretu honi dagokion
maiztasun-taula eratuko da.
b. Barra-grafikoa:
1.9. irudia.
c. Sektore-diagrama:
Hasteko, gai bakoitzari dagokion sektorea kalkulatuko da:
. 1 1 4 2 2 3 5
360
6
360
30
72
360
7
360
30
84 48= = = ° = = = = ° = = °f
n
f
n
, ,
xi fi Fi hi Hi
1 6 6 6/30 = 0,20 6/30 = 0,20
2 7 13 7/30 0,23 13/30 0,43
3 7 20 7/30 0,23 20/30 0,67
4 6 26 6/30 = 0,20 26/30 0,87
5 4 30 2/15 0,13 30/30 = 1
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 21
fi
xi
1.10. irudia.
d. Batez bestekoaren kalkulua:
Beraz, torloju-multzo horren batez besteko lodiera 2,83 mm-koa da. Batez
bestekoak, beste estatistikorik kalkulatu gabe, multzoaren adierazle den lodiera
azaltzen du.
Banaketak bi moda ditu, 2 eta 3 balioak hain zuzen ere, maiztasun handieneko
balioak baitira. Kasu honetan, 2 eta 3 mm-ko lodierako torlojuak dira gehien
azaltzen direnak laginean.
Medianaren balioa Me = 3 da, neurtutako lodieren erdiak 3 mm baino txikiagoak
eta beste erdiak gutxienez 3 mm-koak direlako. Beraz, torlojuen erdien lodiera
[1, 3) mm-koa eta beste erdien lodiera [3, 5] mm-koa da.
Bariantzaren balioa hurrengoa da:
Bariantzaren erro karratu positiboa kalkulatuz,
lor daiteke. Desbideratze tipikoak torlojuen batez besteko lodierarekiko erroreen
batez bestekoa adierazten du eta bere balioa 1,33 mm-koa da.
s = =1 76 1 33, , mm
s
x f
n
xx
i i
i
k
2
2
1 2
2 2 2 2 2
2 21 6 2 7 3 7 4 6 5 4
30
2 83 1 76
= - ( ) =
=
+ + + +
- =
=
( , ) , mm
x
x f
n
i i
i
k
= =
=
+ + + +
= =
=
1
1 6 2 7 3 7 4 6 5 4
30
85
30
2 83, mm.
22 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
.
1.5.2. ariketa
Hurrengo taulan 110 enpresaren fakturazioa azaltzen da:
a. Kalkula bedi gehien fakturatu den kantitatea zein den.
b. Zenbat enpresak fakturatzen dituzte gutxienez 32,17 mila euro? Adieraz ezazu
emaitza maiztasun metatuen poligonoan.
Ebazpena
a. Adierazitako enpresen fakturazioa aldagai kuantitatibo jarraitua da. Hona hemen
dagokion maiztasun absolutuen eta maiztasun metatuen taula:
Bestalde, modaren kalkuluak gehien fakturatu den kantitatea adieraziko du.
Beraz, maiztasun handieneko fakturazioa 24.375 eurokoa da.
b. Bigarren atal honetan eskatzen dena posizio-estatistiko bat zehaztea da. Horrela,
Pj = 32,17 balioaren bidez % j enpresak 32,17 mila euro baino gutxiago fakturatzen
dituztela adierazten da. Datuak ordezkatuz, pertzentilaren ordena zehaztuko da.
Beraz, j 70 da, hots, enpresen % 70ek (77 enpresak, alegia) 32.170 euro baino
gutxiago fakturatzen ditu. Ondorioz, enpresen beste % 30ak gutxienez 32.170 euro
fakturatuko ditu, kasu horretan 33 enpresa izango direlarik.
Grafikoki ikus daitekeenez, (32,17, 77) puntuak 77 enpresak 32,17 mila euro baino
gutxiago fakturatzen dituztela adierazten du.
P l
j n
F
f
d
j
jj i
i
i
i= +
-
= +
-
= =
-
100 30
110
100
72
23
10 32 17 69 99
1
, , .
20
32 25
10
32 25
10
32 23
10
10 20 4 375 24 375= +
-
-
+
-
= + =, ,M l do i i= +
+
1
1 2
[li , li+1) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50]
fi 15 25 32 23 15
Fi 15 40 72 95 110
Fakturazioa (milaka euro) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50]
Enpresa-kopurua 15 25 32 23 15
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 23
.
1.11. irudia.
1.5.3. ariketa
Ingurumenari kalteak eragiteagatik, 1.000 egunetan izandako isun-kopurua neurtu da
eta egun bakoitzean 0 eta 5 isun bitartean jaso dira, hurrengo taulan ikus daitekeen moduan:
a. Kalkula bitez batez bestekoa, mediana, moda eta desbideratze tipikoa.
b. Lor itzazu 1. eta 3. ordenako kuartilak.
c. Adieraz bitez barra-grafikoa eta maiztasun metatuen grafikoa.
Ebazpena
a. Guztira 1.000 egunetako isun-kopurua neurtu denez, taulan falta den datua f1 = 210
da.
1.000 = f1 + 260 + 150 + 190 + 100 + 90 f1 = 210.
Hori kontuan hartuz,
jaso dira, batez beste.
x
x f
n
i i
i
k
= =
=
+ + + + +
= =
=
1
0 210 1 260 2 150 3 190 4 100 5 90
1 000
1 980
1 000
1 98
.
.
.
, isun
Isun-kopurua 0 1 2 3 4 5
Egun-kopurua ? 260 150 190 100 90
24 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
xi
Fi
(32,17, 77)
Mediana 2 da. Hau da egunen erdietan bi isun baino gutxiago eta beste egunen
erdietan 2 eta 5 isun bitartean jaso dira.
Modaren balioa 1 da. Hau da, gehien jaso den isun-kopurua 1 da.
Bariantzaren balioa hurrengoa da:
Bariantzaren erro karratu positiboa kalkulatuz, desbideratze tipikoa 1,58 isunekoa
dela ondorioztatzen da.
b. Kalkula ditzagun Q1 eta Q3 kuartilak. Horretarako osa ditzagun taulako datuak,
maiztasun metatuen zutabea erantsiz.
Orduan, denez, 1. ordenako kuartila Q1 = 1 balioa da.
Era berean, denez, 3. ordenako kuartila Q3 =3 balioa
da.
c. Barra-grafikoa:
1.12. irudia.
75
100
75 1 000
100
750 4
=
= <
n
F
.
25
100
25 1 000
100
250 2
=
= <
n
F
.
xi 0 1 2 3 4 5
fi 210 260 150 190 100 90
Fi 210 470 620 810 910 1.000
s = =2 5 1 58, , isun
s
x f
n
xx
i i
i
k
2
2
1 2
2 2 2 2 2
2 21 260 2 150 3 190 4 100 5 90
1 000
1 98 2 5
= - ( ) =
=
+ + + +
- =
=
.
( , ) , (isun)
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 25
fi
xi
.
.
Maiztasun metatuen grafikoa:
1.13. irudia.
1.5.4. ariketa
Ondoko taulan 80 langileren hileko soldatak azaltzen dira:
a. Kalkula bedi langile horien zein proportziok irabazten duen hilero euro
baino gutxiago.
b. Lagin horretako 4 langileren soldata gutxienez A eurokoa da. Estatistiko egoki bat
erabiliz, zehatz bedi A kantitatea.
c. Azal bedi aurreko ataleko A kantitatearen interpretazio grafikoa aldagaiaren
histograman.
Ebazpena
a. Enuntziatuko datuei honako maiztasunen taula dagokie:
x s+
Soldatak
(euro)
Ingeniariak
(%)
1.500-1.560 0,15
1.560-1.600 0,15
1.600-1.680 0,25
1.680-1.740 0,20
1.740-1.800 0,15
1.800-1.860 0,10
26 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
xi
Fi
xj xj+1
Fj
Batez bestekoaren kalkulua:
Bariantzaren kalkulua:
Â
Ondorioz, desbideratze tipikoaren balioa hurrengoa da:
+ s = 1.667+ 93,55 = 1.760,55 euro da. Orduan, hilero 1.760,55 euro baino
gutxiago irabazten dituzten langileen proportzioa kalkulatu behar da. Horretarako
Pk pertzentilaren ordena zehaztu behar da.
Kasu honetan, hurrengo ekuazioa ebatziko da:
k = 80,14.
Beraz, 80 langileen % 80,14k hilero 1.760,55 euro baino gutxiago irabazten ditu.
1 760 55 1 740
80
100
60
12
60. , .= +
-
k
P l
k n
F
f
dk i
i
i
i= +
-
-
100
1
.
x
s = =8 751 93 55. , euro
2
1 667 8 751( ) =. . (euro)2
s
x f
n
x
i i
i
k
2
2
1 2
2 2 2
1 530 12 1 580 12 1 830 8
80
= - =
=
( ) + ( ) + + ( )
=
( )
. . .K
x
x f
n
i i
i
k
= =
+ + +
= ==
1 1 530 12 1 580 12 1 830 8
80
133 360
80
1 667
. . . .
.
K
euro
[li ,li+1) hi xi fi Fi
[1.500,1.560) 0,15 1.530 12 12
[1.560, 1.600) 0,15 1.580 12 24
[1.600, 1.680) 0,25 1.640 20 44
[1.680, 1.740) 0,20 1.710 16 60
[1.740, 1.800) 0,15 1.770 12 72
[1.800, 1.860] 0,10 1.830 8 80
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 27
.
.
.
b. Erabiliko den estatistikoa berriro ere pertzentila da. 4 langilek laginaren % 5
osatzen dutenez, erantzuna 95. ordenako pertzentilaren bidez kalkula daiteke.
Hau da, 4 langileren hileko soldatak gutxienez A = 1.830 eurokoak dira.
c. Aldagai estatiskoari dagokion histograman abzisa-ardatzean klaseak eta ordenatu-
ardatzean fi /di balioak adieraziko dira, non fi gaiak maiztasun absolutuak eta di
balioak klaseen anplitudeak diren.
Histogramaren adierazpen grafikoa honako hau da:
1.14. irudia.
Bertan ikus daitekeenez, A = 1.830 balioa posizio estatistiko bat da, 95. ordenako
pertzentila hain zuzen ere. Beraz, kasu honetan banaketaren % 95 geratzen da
1.830 balioaren ezkerrean eta beste % 5a bere eskuinean dago.
[li ,li+1) fi di fi /di
[1.500,1.560) 12 60 0,20
[1.560, 1.600) 12 40 0,30
[1.600, 1.680) 20 80 0,25
[1.680, 1.740) 16 60 0,27
[1.740, 1.800) 12 60 0,20
[1.800, 1.860] 8 60 0,13
P l
n
F
f
di
i
i
i95
1
95
100 1 800
95 80
100
72
8
60 1 830= +
-
= +
-
=
-
. . .euro
28 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
xi
fi /di
% 95 % 5
1.5.5. ariketa
Hurrengo datuek pertsona baten iazko elektrizitate-gastuak (euro) adierazten dituzte:
a. Nolakoa da aldagai hau, kuantitatiboa ala kualitatiboa?
b. Zein da urteko batez besteko elektrizitate-gastua?
c. Lor bedi desbideratze tipikoaren balioa.
d. Kalkula bedi medianaren balioa eta adierazi bere esanahia.
Ebazpena
a. Pertsona baten iazko elektrizitate-gastuak zenbakizko balioak direnez, aldagai
kuantitatiboa da. Gainera, balio puntualak daudenez, aldagai kuantitatibo diskretua
dela erantsi daiteke.
Halaber, aldagaiari hurrengo maiztasun-taula dagokio:
b. Urteko batez besteko elektrizitate-gastua:
Bariantzaren kalkulua:
 (32,3)2
= 11,57 (euro)2
.
Desbideratze tipikoa, bariantzaren erro karratu positiboaren emaitza da:
s = =11 57 3 4, , euro.
s
x f
n
xx
i i
i
k
2
2
1 2
2 2 2
25 8 1 27 6 2 36 2 1
12
= - =
=
( ) + ( ) + + ( )
=
( )
, , ,K
x
x f
n
i i
i
k
= =
+ + + +
= ==
1 25 8 1 27 6 2 36 2 1
12
387 6
12
32 3
, , , ,
, .
K
euro
xi 25,8 27,6 32,4 33,6 35,6 36 36,2
fi 1 2 4 1 2 1 1
Fi 1 3 7 8 10 11 12
Urt. Ots. Mar. Api. Mai. Eka. Uzt. Abu. Ira. Urr. Aza. Abe.
35,6 36 36,2 35,6 27,6 25,8 27,6 32,4 32,4 32,4 32,4 33,6
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 29
d. Mediana kalkulatzeko, kasu honetan n = 12 bikoitia denez, mediana seigarren eta
zazpigarren balioen erdiko puntua da. Ondorioz,
Me = 32,4 euro
da. Horrek esan nahi du, sei hilabetetako gastuak 32,4 euro baino gutxiagokoak eta
beste sei hilabeteetako gastuak gutxienez 32,4 eurokoak izan direla.
1.5.6. ariketa
Lan-talde batek produkzio-plantako produkzio-unitate bakoitza egiteko behar izan
den denbora neurtzen du. Produkzio-planta batean 30 egunetako datuak bildu dira eta datu
horien bidez egun bakoitzean produkzio-unitateak egiteko guztira behar izan dituzten
orduak neurtu dira:
Datuok anplitude bereko bost klasetan bilduz:
a. Kalkula bitez produkzio-unitate horien ekoizpenerako batez besteko denbora eta
maiztasun handieneko ordu-kopurua.
b. Alborapen-koefizientearen balioaren arabera, zer esan daiteke?
Ebazpena
a. Emandako banaketa, datuak bost klasetan bilduz, honela adieraz daiteke:
Produkzio-unitateen ekoizpenerako, batez beste, 118,67 ordu behar dira:
x
x f
n
i i
i
k
= = ==
1 3 560
30
118 67
.
, ordu.
[li, li+1) xi fi
[95, 105) 100 6
[105, 115) 110 8
[115, 125) 120 5
[125, 135) 130 6
[135, 145) 140 5
128 119 96 97 124 128 142 98 108 120
114 109 124 132 97 138 133 136 120 112
144 128 103 135 114 109 100 111 131 113
30 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
Bestalde, modaren balioa kalkulatuko da.
Orduan, maiztasun handienez 109 ordu behar dira pieza horiek ekoizteko.
b. Alborapen-koefizientearen balioa zehazteko, batez bestekoa eta modaren balioak
aurreko atalean lortu direnez, orain desbideratze tipikoaren balioa kalkulatu behar da.
Lehenago, bariantzaren kalkulua egin behar da:
Orduan, desbideratze tipikoa 13,81 ordu da.
Bukatzeko, alborapen-koefizientearen balioa kalkulatuko da.
Alborapen-koefizientea positiboa denez, banaketa eskuinerantz alboratua dela esan
daiteke.
1.5.7. ariketa
Ordenagailuen eraginkortasuna neurtzeko 0 eta 100 bitarteko koefizienteak ezarri
dira. Horrela, ondoko grafikoan 98 ordenagailuren eraginkortasuna neurtzen duen
koefizientea maiztasun metatuen poligonoaren bidez adierazten da:
1.15. irudia.
v
x M
s
o
=
-
=
-
=
118 67 109
13 81
0 7
,
,
, .
s = =190 76,
2
118 67 190 76-( ) =, , .(ordu)2
s
x f
n
x
i i
i
k
2
2
1 2 428 200
30
= - ==
( )
.
M l do i i= +
+
= +
-
-
+
-
= + =
1
1 2
105
8 6
10
8 6
10
8 5
10
10 105 4 109 ordu.
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 31
xi
Fi
a. Eraiki bedi aldagai kuantitatibo jarraitu honi dagokion maiztasun absolutu eta
metatuen taula.
b. Kalkula itzazu bariantza, desbideratze tipikoa eta aldakuntza-koefizientearen balioak.
c. Jakinda 49 ordenagailuren eraginkortasunaren koefizientea x balioa baino
txikiagoa dela, zenbatekoa da x balioa?
Ebazpena
a. Maiztasun metatuen grafikoan (li+1, Fi) puntuak adierazten dira, li+1 balioa
klasearen goi-muturra eta Fi gaia xi balio bakoitzari dagokion maiztasun metatua
izanik. Orduan, maiztasun absolutu eta metatuen taula osatzeko, aldagai
kuantitatibo jarraitua hamar anplitudeko klasetan bana daiteke.
b. Lehenengo batez bestekoaren balioa, eta gero, eskatutako estatistikoen balioak
kalkulatuko dira.
Bariantza:
2
37 04 438 69-( ) =, , .s
x f
n
x
i i
i
k
2
2
1 2 177 450
98
= - ==
( )
.
x
x f
n
i i
i
k
= = ==
1 3 630
98
37 04
.
, .
[li, li+1) xi fi Fi
[0, 10) 5 8 8
[10, 20) 15 21 29
[20, 30) 25 7 36
[30, 40) 35 17 53
[40, 50) 45 21 74
[50, 60) 55 12 86
[60, 70) 65 4 90
[70, 80) 75 5 95
[80, 90) 85 2 97
[90, 100) 95 1 98
32 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
Desbideratze tipikoa:
Aldakuntza-koefizientea:
c. Pk pertzentilaren bidez, laginaren % k ordenagailuk duten eraginkortasuna Pk balioa
baino txikiagoa dela adierazten da. Kasu honetan, 49 ordenagailu laginaren erdia
direla ikus daiteke. Beraz, problema mediana kalkulatuz ebatz dezakegu:
Ondorioz, ordenagailu erdien eraginkortasunaren koefizientea 37,6 baino txikiagoa
da.
1.16. irudia.
1.5.8. ariketa
A termometroarekin neurtutako tenperaturen erroreek 1 ºC-eko batez bestekoa eta
0,01 ºC-ko desbideratze tipikoa erakutsi dituzte. Bestalde, B termometroarekin neurtutako
tenperaturen erroreek 0,2 ºC-ko batez bestekoa eta 0,08 ºC-ko desbideratze tipikoa adierazi
dituzte.
a. Zein termometro da erlatiboki zehatzagoa, A ala B?
b. Gaur goizeko zortzietan 8 ºC-ko tenperatura zegoenean, A termometroak 9,5 ºC eta
B termometroak 9,6 ºC neurtu dituzte. Zein termometrok erakutsi du erlatiboki
errore txikiagoa goizeko zortzietan?
Oharra: errorea = benetako tenperatura - neurtutako tenperatura
M l
n
F
f
de i
i
i
i= +
-
= +
-
=
-
2 30
49 36
17
10 37 6
1
, .
CV
s
x
x
x
= = =
20 94
37 04
0 565
,
,
,
s = =438 69 20 94, , .
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 33
xi
Fi
(50,74)
.
Ebazpena
a. Erlatiboki zehatzagoa den termometroa zehazteko, aldakuntza-koefizienteak
kalkulatuko dira:
B termometroarekin egindako neurketei dagokien aldakuntza-koefizienteak % 40ko
aldakuntza adierazten du. A termometroari dagokionez, aldiz, % 1eko aldakuntza
du. Ondorioz, CVA < CVB denez, A termometroa zehatzagoa da.
b. Errorea benetako tenperaturaren eta neurtutako tenperaturaren arteko diferentzia
denez, A eta B termometroek goizeko zortzietan jasotako neurrien erroreak
dira, hurrenez hurren. Tipifikazioa aplikatuz, balio bakoitzaren posizio erlatiboa
kalkula daiteke:
zB < zA denez, B termometroaren goizeko zortzietako neurriaren errorea erlatiboki
txikiagoa da.
1.5.9. ariketa
Lan-talde batean kualifikazioa eta produktibitatea kalifikatu dira: kualifikazioaren
batez besteko puntuazioa 10 eta desbideratze tipikoa 2,2 eta produktibitatearen batez
besteko puntuazioa 30 eta desbideratze tipikoa 13 izan dira. Marta eta Mikel lan-talde
horretako bi partaide dira. Martak kualifikazioan 12 eta produktibitatean 35 puntuazioak
lortu ditu. Mikelen puntuazioak kualifikazioan eta produktibitatean 11 eta 38 dira, hurrunez
hurren. Kualifikazioa eta produktibitatea batera hartuz, globalki, nork du puntuazio hobea?
z
x x
s
z
x x
s
A
A A
A
B
B B
B
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
1 5 1
0 01
50
1 6 0 2
0 08
17 5
,
,
, ,
,
,
x
x
A
B
= - =
= - =
8 9 5 1 5
8 9 6 1 6
, ,
, ,
CV
s
x
CV
s
x
A
A
A
B
B
B
= = =
= = =
0 01
1
0 01
0 08
0 2
0 4
,
, ,
,
,
, .
34 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
,
,
Ebazpena
Enuntziatuko datuen arabera, bi alderdi neurtzen dira:
Martaren eta Mikelen puntuazioak kualifikazioan eta produktibitatean:
Bi alderdiak batera tratatzeko puntuazioak tipifikatu behar dira.
Puntuazio globala lortzeko, bi puntuazioen batez bestekoa kalkulatuko da.
Mikelen puntuazio globala:
Martaren puntuazio globala:
Ondorioz, Martaren puntuazio globala Mikelena baino hobea da.
1.5.10. ariketa
Hogei hiritako hileko euri-kantitateak (l/m2) neurtu dira eta emaitzak anplitude
ezberdinetako sei klasetan bildu dira. Anplitudeak honakoak dira: d1 = 8, d2 = 8, d3 = 4,
d4 = 4, d5 = 8, d6 = 10, non di balioa i. klasearen anplitudea den. Bestalde, dagozkien
maiztasun erlatibo metatuak hauek dira, hurrenez hurren: H1= 0,10, H2 = 0,10, H3 = 0,55,
H4 = 0,75, H5 = 0,95, H6 = 1.
a. Jaso den euri-kantitate txikiena 65 l/m2-koa dela jakinda, kalkula bedi zein den
hogei hirietako batez besteko hileko euri-kantitatea.
b. Egia al da hamar hiritako euri-kantitatea 73 l/m2 eta 86 l/m2 bitartekoa izan zela?
z z1
2
2
2
2
0 91 0 38
2
0 645
+
=
+
=
, ,
, .
z z1
1
2
1
2
0 45 0 62
2
0 535
+
=
+
=
, ,
,
z z
z z
1
1
2
1
1
2
2
2
11 10
2 2
0 45
38 30
13
0 62
12 10
2 2
0 91
35 30
13
0 38
=
-
= =
-
=
=
-
= =
-
=
,
, , ,
,
, , .
Kualifikazioa Produktibitatea
Mikel
Marta
Kualifikazioa Produktibitatea
x1 = 10 x2 = 30
s1 = 2,2 s2 = 13
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 35
x x1 210 30= =
s s1 22 2 13= =,
x x1
1
2
1
11 38= =
x x1
2
2
2
12 35= =
Mikel:
Marta:
,
,
,
Ebazpena
a. Hasteko, euri-kantitate txikiena xi balio txikiena 65 denez, eta klaseen anplitudeak
ezagunak direnez, klaseak eta klase-markak zehatz daitezke. Bestealde, Hi maiz-
tasun erlatibo metatuak ezagunak direnez eta n = 20 denez, maiztasun erlatiboak,
maiztasun absolutuak eta maiztasun absolutu metatuak kalkula daitezke.
Horretarako kontuan hartuko diren adierazpenak hurrengoak dira: hi = Hi - Hi-1,
Fi = 20Hi eta fi = Fi - Fi-1.
Batez besteko hileko euri-kantitatea hauxe da:
l/m2
b. Pertzentilak erabiliz, 10. ordenako pertzentila kalkulatuz, bi hiritako euri-
kantitateak 65-73 l/m2-koak izan zirela ikus daiteke.
Era berean, 60. ordenako pertzentila kalkulatuz, 12 hiritako euri-kantitateak
86 l/m2 baino txikiagoak izan zirela nabari da.
Ondorioz, hamar hiritako euri-kantitateak 73-86 l/m2 bitartekoak izan ziren.
1.5.11. ariketa
Berrogei pertsonari test psikometriko bat aplikatu zaie eta hurrengo puntuazioak lortu
dira:
86 100 85
20
100
11
4
4 60
1
= = =
-
= +
-
=
-
P l
m n
F
f
d
m
mm j
j
j
j .
73 100 65
20
100
0
2
8 10
1
= = +
-
= +
-
=
-
P l
k n
F
f
d
k
kk i
i
i
i .
x
x f
n
i i
i
k
= =
+ + + + +
= ==
1 69 2 77 0 83 9 87 4 93 4 102 1
20
1 707
20
85 35
.
,
[li, li+1) xi Hi hi Fi fi
[65, 73) 69 0,10 0,10 2 2
[73, 81) 77 0,10 0 2 0
[81, 85) 83 0,55 0,45 11 9
[85, 89) 87 0,75 0,20 15 4
[89, 97) 93 0,95 0,20 19 4
[97, 107) 102 1 0,05 20 1
36 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
.
a. Kalkula bitez mediana eta moda. Azaldu beraien esanahia.
b. Erabil ezazu estatistiko egoki bat 13 puntu baino gutxiago lortu duen pertsona-
kopurua zehazteko.
Ebazpena
a. Biz X = "test psikometrikoaren puntuazioak" aldagai estatistikoa. Taulako pun-
tuazioak klasetan bil daitezke. Ondoren maiztasun metatuak kalkulatuko dira.
Mediana da bere eskuinaldean banaketaren % 50 uzten duen balioa.
Beraz, lagineko pertsonen erdiek ez dute gainditu 7,73 puntuazioa.
Moda, maiztasun absolutu handieneko balioa da. Kasu honetan, hurrengo balioa
du:
Beraz, gehien lortu den puntuazioa 6,57 izan da.
b. Pk pertzentilaren bidez, banaketaren % k pertsonak lortu duten puntuazioa Pk baino
txikiagoa dela adierazten da.
k = 80,625.
P l
k n
F
f
d
k
k i
i
i
i= +
-
= +
-
=
-
100 12
40
100
31
5
4 13
1
M l do i i= +
+
= +
-
-
+
-
=
1
1 2
4
15 6
4
15 6
4
15 10
4
4 6 57, .
M l
n
F
f
de i
j
i
i= +
-
= +
-
=
-
2 4
40
2
6
15
4 7 73
1
, .
[li, li+1) [0, 4) [4, 8) [8, 12) [12,16) [16,19)
fi 6 15 10 5 4
Fi 6 21 31 36 40
Puntuazioak 0-4 4-8 8-12 12-16 16-19
Pertsona-kopurua 6 15 10 5 4
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 37
,
Ondorioz, lagineko pertsonen % 80,625ek lortu duen puntuazioa 13 baino txikiagoa
da, hots, 32 pertsonak 13 baino puntuazio txikiagoa lortu dute.
1.5.12. ariketa
Gasteizen eta Bilbon kokatutako bi enpresa ekoizpena aztertzen ari dira. Ondoko
taulan egunean ekoitzitako pieza-kopurua neurtu da:
Enpresen plangintzetan, ekoizpenaren arabera (ekoizpen txikienetik handienera), lau
langile-kategoria ezarriko dira: A kategorian enplegatuen % 65, B kategorian enplegatuen
% 20, C kategorian enplegatuen % 10 eta D kategorian enplegatuen % 5.
a. D kategoriako langile izateko ekoizpen minimoa, non da handiagoa, Gasteizen ala
Bilbon?
b. Irudika bitez kasu bakoitzeko histograma eta maiztasun metatuen poligonoa,
aurreko atalean kalkulatutako estatistikoen balioak adieraziz.
Ebazpena
a. Hasteko, hona hemen kasu bakoitzari dagokion taula:
Gasteiz Bilbo
[li, li+1)
94 3,13 94 [0, 30) 85 2,83 85
140 7 234 [30, 50) 160 8 245
160 8 394 [50, 70) 160 8 405
98 4,9 492 [70, 90) 89 4,45 494
8 0,8 500 [90, 100) 6 0,6 500
Pieza-
kopurua
Enplegatu-kopurua
Gasteiz
Enplegatu-kopurua
Bilbo
0-30 94 85
30-50 140 160
50-70 160 160
70-90 98 89
90-100 8 6
38 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
fi
G
f di
G
i/ Fi
G
fi
B
f di
B
i/ Fi
B
Lehenengo, kalkula dezagun Gasteizko kasurako 95. ordenako pertzentila.
Ondorioz, Gasteizko langileen artean 87 eta 100 pieza bitartean ekoizten dituzten
langileak D kategorian daude.
Orain, kalkula dezagun Bilboko langileen kasurako 95. ordenako pertzentilaren
balioa.
Hau da, Bilboko langileen artean 86 eta 100 pieza bitartean ekoizten dituztenak
daude D kategorian.
Gasteizko kasuan 95. ordenako pertzentilaren balioa handiagoa denez, D katego-
riako langile izateko ekoizpen minimoaren balioa Gasteizen handiagoa da.
b. 1.17. eta 1.18. irudietan kasu bakoitzeko histogramak adierazi dira. Era berean,
1.19. eta 1.20. irudietan Gasteizko eta Bilboko kasuetarako maiztasun metatuen
poligonoak nabari daitezke.
1.17. irudia 1.18. irudia
PB
95 70
475 405
89
20 85 73= +
-
= , .
500 95
100
475 70 9095
= [ )denez, orduan dago.PB
,
PG
95 70
475 394
98
20 86 53= +
-
= , .
500 95
100
475 70 9095
= [ )denez, orduan dago.PG
,
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 39
fi /di
G
xi
G
fi /di
B
xi
B
% 95 % 5 % 95 % 5
1.19. irudia 1.20. irudia
1.5.13. ariketa
Ondoko taulan 40 lanpararen iraupenak azaltzen dira:
a. Kalkula bedi lanparen batez besteko iraupena, mediana eta desbideratze tipikoa.
b. Beste mota bateko lanparen batez besteko iraupena 11 urte eta desbideratze tipikoa
5,5 urte izan dira. Zein datu daude erlatiboki kontzentratuago?
c. Enuntziatuko 40 lanparetako batek 10 urte eta b) ataleko beste lanpara batek 12
urte iraun dute. Zein lanparak izan du erlatiboki iraupen handiagoa?
Ebazpena
a. Biz X = "lanparen iraupena" aldagai aleatorio diskretua. Zehatz dezagun
modalitateaz, maiztasun absolutuaz eta maiztasun metatuaz osaturiko taula:
Lanparen batez besteko iraupena honela kalkulatuko da:
x
x f
n
i i
i
k
= = ==
1 344
40
8 6, .urte
xi 2 6 10 14 18
fi 6 15 10 5 4
Fi 6 21 31 36 40
Iraupena (urte) 2 6 10 14 18
Lanpara-kopurua 6 15 10 5 4
40 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
fi /di
G
xi
G
fi /di
B
xi
B
(86,53, 475) (85,73, 475)
Medianaren kalkulua:
n = 40 bikoitia denez, mediana 20. eta 21. posizioetako balioen erdiko puntua da.
Beraz, Me = 6 urte da. Ondorioz, lanparen erdiek 2 edo 6 urteko iraupena eta beste
lanparen erdiek 6, 10, 14 edo 18 urteko iraupena dute.
Bariantza:
Bariantzaren erro karratu positiboa kalkulatuz, desbideratze tipikoaren balioa
lortuko da:
b. Kalkula ditzagun aldakuntza-koefizienteen balioak bi lanpara-multzoetarako.
Lehenengo kasuan, aldakuntza-koefizientearen balioa hauxe da:
Bigarren atal honetako lanparei dagokien aldakuntza-koefizientea honakoa da:
Ondorioz, bigarren multzoko lanparen iraupenari dagokion aldakuntza-koefizientea
txikiagoa denez, datu hauek erlatiboki kontzentratuago daude.
c. Galdera honi erantzuna emateko tipifikazioa aplikatuko da.
I. multzoko lanpararen balio tipifikatua:
II. multzoko lanpararen balio tipifikatua:
z1 > z2 denez, lehenengo multzotik hartutako lanparak erlatiboki gehiago irauten du.
z
x x
s
2
2 2
2
12 11
5 5
0 182=
-
=
-
=
,
, .
z
x x
s
1
1 1
1
10 8 6
4 69
0 299=
-
=
-
=
,
,
, .
I. multzoko lanparak II. multzoko lanparak
x1 = 8,6 x2 = 11
s1 = 4,69 s2 = 5,5
x1 = 10 x2 = 12
CV
s
y
y
y
= = =
5 5
11
0 5
,
, .
CV
s
x
x
x
= = =
4 69
8 6
0 545
,
,
, .
s = =22 04 4 69, , urte.
s
x f
n
xx
i i
i2
2
1
6
2
2 2 2 2 2
22 6 6 15 10 10 14 5 18 4
40
8 6 22 04
= = ( ) =
=
+ + + +
- ( ) =
=
, , .(urte)2
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 41
x x
s s
x x
1 2
1 2
1 2
8 6 11
4 69 5 5
10 12
= =
= =
= =
,
, ,
-
1.5.14. ariketa
Hona hemen marka ezagun bateko 27 autoren gasolina-kontsumoa (litro) 100 km-ko
ibilbidean:
Aldagai kuantitatibo jarraitu hau [2,1, 5,1] tartean definituta dagoela jakinda, kalkula
bitez batez bestekoa, mediana, moda, desbideratze tipikoa, aldakuntza-koefizientea, Q1 eta
Q3 kuartilak, heina, kuartilarteko heina, alborapena eta kurtosia.
Ebazpena
Egin dezagun azterketa aldagai kuantitatiboa era jarraituan tratatuz. Heina
R = 5,1 - 2,1 = 3 denez eta klase-kopurua har daitekeenez, datuak
anplitudeko 5 klasetan banatuko dira. Argudio hauen arabera, hona hemen
aldagai kuantitatibo jarraituari dagokion maiztasun-taula:
Batez bestekoa:
Mediana:
M l
n
F
f
de i
i
i
i= +
-
= +
-
=
-
2 3 3
13 5 11
5
0 6 3 6
1
,
,
, , .litro
F M3 16
27
2
13 5 3 3 3 9= > = [ ), , , ,denez, orduan dago.3
x
x f
n
i i
i
k
= =
+ + + +
= ==
1 2 4 4 3 0 7 3 6 5 4 2 5 4 8 6
27
98 4
27
3 64
, , , , , ,
, .litro
[li ,li+1) xi fi Fi hi Hi
[2,1, 2,7) 2,4 4 4 0,15 0,15
[2,7, 3,3) 3,0 7 11 0,26 0,41
[3,3, 3,9) 3,6 5 16 0,18 0,59
[3,9, 4,5) 4,2 5 21 0,18 0,78
[4,5, 5,1] 4,8 6 27 0,22 1
R
k
= =
3
5
0 6,
k n= = 27 5
2,1 3,3 4,4 3,0 4,0 5,0 2,7 2,6 4,8
4,7 2,8 4,8 3,9 2,3 3,8 2,8 3,0 3,7
3,3 4,4 3,1 4,0 3,7 2,5 2,7 5,1 4,7
42 Estatistikaren oinarriak. Ariketak
Moda:
Maiztasun handiena f2 = 7 da. Orduan, moda [2,7, 3,3) tartean dago.
Desbideratze tipikoa:
Desbideratze tipikoa bariantzaren erro karratu positiboa denez, lehenengoz bariantza-
ren balioa lortuko da.
Beraz, desbideratze tipikoaren balioa hurrengoa da:
Aldakuntza-koefizientea:
Q1 eta Q3 kuartilen kalkulua:
Heina:
R = max(xi)- min(xi) = 5,1-2,1 = 3.
Q l
n
F
f
di
i
i
i3
1
75
100 3 9
20 25 16
5
0 6 4 41= +
-
= +
-
=
-
,
,
, , litro.
F
n
Q4 21
75
100
75 27
100
20 25 3 9 4 5= >
=
= [ ), , , ,denez, orduan dago.3
Q l
n
F
f
di
i
i
i1
1
25
100 2 7
6 75 4
7
0 6 2 94= +
-
= +
-
=
-
,
,
, , litro.
F
n
Q2 11
25
100
25 27
100
6 75 2 7 3 3= >
=
= [ ), , , ,denez, orduan dago.1
CV
s
x
x
= = =
0 85
3 64
0 23
,
,
, .
s = =0 72 0 85, , litro.
s
x f
n
xx
i i
i
k
2
2
1 2
2 2 2 2 2
22 4 4 3 7 3 6 5 4 2 5 4 8 6
40
3 64 0 72
= = ( ) =
=
( ) + + ( ) + ( ) + ( )
- ( ) =
=
, , , ,
, , .(litro)2
M l do i i= +
+
= +
-
-
+
-
=
1
1 2
2 7
7 4
0 6
7 4
0 6
7 5
0 6
0 6 3 06,
,
, ,
, , .l
Estatistika deskribatzailea. Aldagai bakuna 43
-
Kuartilarteko heina:
Q3 - Q1 = 4,41-2,94 = 1,47.
Alborapen-koefizientea:
Koefiziente horren balioa positiboa denez, banaketa eskuinerantz alboratua da.
Kurtosia:
Lehenengo, laugarren ordenako momentuaren balioa lortuko da.
Bestalde, bariantzaren balioa m2 = 0,72 (litro)2 denez, orduan (litro)4 da.
Ondorioz, kurtosiaren balioa lortuko da:
Kurtosi-koefizientearen balioa 3 baino txikiagoa denez, banaketa platikurtikoa da.
1.6. ARIKETA PROPOSATUAK
1.6.1. ariketa
Airearen kutsatzaile batzuen kontzentrazioen arabera, 1, 2, 3, 4 eta 5 indizeak
adierazten dira, indize horiek airearen kalitatea hurrengo eran definitzen dutelarik:
Indizea Airearen kalitatea
1 Oso ona
2 Ona
3 Egokia
4 Txarra
5 Oso txarra
g2
0 81
0 52
1 56= =
,
,
, .
m2
2
0 52= ,
m
x x f
n
i i
i
k
4
4
1
4 4 4
2 4 3 64 4 3 3 64 7 4 8 3 64 6
27
21 97
27
0 81
=
-( )
=
-( ) + -( ) + + -( )
=
= =
=
, , , , ,
,
, .
K
(litro)4
g
m
m
2
4
2
2
= .
v
x M
s
o
X
=
-
=
-
=
3 64 3 06
0 85
0 68
, ,
,
, .
44 Estatistikaren oinarriak. AriketakEstatistikaren oinarriak: Ariketak