1. gaia
Kontzeptu eta ideia orokorrak
Lehenengo gai honetan, liburu osorako sarrera modura, Fisika Klasikoaren oinarrian
dauden kontzeptu batzuen aipamena egitetik hasiko gara, magnitude fisikoak zer diren eta
zer motatako objektu matematikoak diren azaldurik. Gainezarmenaren printzipioaren
aipamena ere egingo da hasieran, sistema linealekin duen lotura azpimarraturik.
Gaiaren bigarren partean, magnitude fisikoen balioak zehazterakoan neurketa-pro-
zesuak duen garrantzia aipatu ondoren, Fisikaren arloko oinarrizko magnitudeak eta
unitate-sistemak aipatzera zuzenduko dugu azalpena, dimentsio-ekuazioen azterketarekin
bukatzeko.
1.1. ESPAZIOA ETA DENBORA FISIKA KLASIKOAN
Fisika Klasikoaren oinarrian espazioaren eta denboraren ideiak daude. Bi kontzeptu horiek
intuitiboki definitu ohi dira, eta absolututzat jotzen ditugu. Fisika Klasikoaren arlotik
irteten ez garen bitartean, espazioak eta denborak orain aipatuko ditugun propietateak
dituztela onartuko dugu. Horrek, ordea, ez du esan nahi horrelakoak direnik; eta Mekanika
Kuantikoaren edo Fisika Erlatibistaren arloetara pasatzean, kontzeptu eta propietate horiek
kolokan jarriko dira.
Geometria euklidearrean finkaturik, espazioari buruzko ideia intuitiboa dugu. Espa-
zioak hiru dimentsio dituela, isotropoa dela --hots, norabide guztietan propietate berberak
dituela-- eta infinitua dela onartzen dugu. Halaber, bi punturen arteko distantziarik
laburrena bi puntuak lotzen dituen zuzenaren norabidean neurtzen dena dela, eta, gainera,
distantzia hori neurri absolutua dela. Absolutua dela esatean, hauxe esan nahi dugu, alegia,
edozein behatzailek aldiune berean bi puntuen posizioa kontsideratzean, distantzia berbera
neurtuko duela. Zer esanik ez, absolututasun hori Fisika Klasikoaren arloan aintzatesten da
soilik, zeren eta, Erlatibitatearen Teorian sartuz, bi punturen arteko distantzia behatzai-
learen abiaduraren funtzioan baitago (Erlatibitate Berezia) eta, bestalde, espazioaren
kurbadura ere kontuan hartu behar baita (Erlatibitate Orokorra).
Denborarekin ere berdintsu gertatzen da. Intuitiboki jokatuz, denbora etengabe
handituz doan magnitudea dela kontsideratu ohi dugu. Magnitude hori erlojuen bidez
neurtzen da. Kasu honetan ere, denbora zerbait absolututzat hartzera jotzen dugu, eta egin
ere, horrela egiten dugu Fisika Klasikoan. Hau da, bi gertaera puntualen artean pasatzen
den denbora, edozein behatzailek neurturik, berbera izanen dela kontsideratzen dugu. Ba-
dakigu, hala ere, Erlatibitatearen Teoriaren arabera, bi gertaeren aldiberekotasuna bera ere
kontzeptu erlatiboa dela.
Dena den, Fisika Klasikoan erabiltzen diren espazio eta denbora absolutuak guztiz
zehatzak ez badira ere, esan beharra dago ezen kontzeptu horien erlatibotasuna abiadura
handien kasuan baino nabaritzen ez dela. Hain zuzen ere, erlatibotasuna nabari dadin,
abiadurek argiaren abiadurarekin konparatzeko modukoak izan behar dute. Eta Fisika
Klasikoaren arloan abiadura txikiak aztertuko ditugunez, ez zaigu inolako problemarik
sortuko, denbora eta espazioa absolututzat hartzeagatik.
Bestalde, Erlatibitatearen Teoria ez doa Fisika Klasikoaren aurka; aitzitik, beraren
osagarria da. Eta Erlatibitatearen Teorian ageri diren formula eta adierazpenak, limitean,
abiadura txikien kasuan alegia, Fisika Klasikoan ageri diren berberak dira. Honek ez gaitu
harritu behar, zeren, azken batez, Fisikan azaltzen diren legeak errealitatearen hurbilketa
baino ez baitira, eta guztiek baitituzte zenbait muga beren erabilpenerako.
1.2. MAGNITUDE FISIKOAK. ESKALARRAK ETA BEKTOREAK
Magnitude hitza etengabe agertuko zaigunez, lehenik eta behin horrekin adierazi nahi
dugun kontzeptua definituko dugu. Zer da `magnitude fisikoa'? Laburki esanik,
"magnitude fisikoa neurtu egin daitekeen edozer gauza da, beraren izaera gizakiaren
eraginetik apartekoa izanik".
Bi faktore daude, beraz, magnitude kontzeptuaren definizioan. Batetik, neurtu egin
daitekeen zerbait dela. Bestetik, gizakiak parte hartu gabe ere badirela; honek ez du esan
nahi, noski, gizakiak alda ez ditzakeenik, izaeraz pertsonaz kanpokoak direla baizik. Zen-
bait magnitude aipatzearren, hona hemen batzuen izenak: abiadura, masa, denbora, indarra,
lana...
Matematikoki kontsideratuz, hau da, magnitude fisikoak objektu matematiko modura
hartuz, ordena desberdinetako tentsoreak direla esan dezakegu. Zerogarren ordenakoei,
eskalar deritze, eta, hurrengo gaian ikusiko dugunez, zenbaki batez adierazten dira osorik.
Eslakarren artean, denbora, lana, masa eta beste ditugu. Lehen ordenakoei, bektore deritze.
Hauek geometrikoki definitzeko, zenbaki batez gainera, zein norabidetakoak diren ere esan
behar da. Bektoreen artean abiadura eta indarra ditugu, adibidez. Badira magnitude kora-
pilatuagoak ere (ordena desberdinetako tentsoreak eta beste), baina oraingoz ez du merezi
horretan sakontzerik.
Edozein modutan, lege fisikoak agertzen dituzten adierazpenetako magnitudeei
buruzko zenbait ohar egitea komeni da. Fenomeno fisikoak eredu matematikoen bidez
aztertzen dira, Matematika baita fenomeno horiek aztertzeko erabiltzen den hizkuntza.
Hori egitean sortzen diren ekuazioek `kobarianteak' izan behar dute, hau da,
ekuazioaren parte biek maila eta era bereko tentsoreak izan behar dute. Sinpleago esanik,
honek ondokoa esan gura du, alegia, lehen partea bektorea bada, bigarrenak ere bektore
izan behar duela, eta lehena eskalarra bada, bigarrenak ere eskalar izan beharko duela.
26 Fisika Orokorra
1.3. GAINEZARMENAREN PRINTZIPIOA
Printzipio hau askotan erabiliko dugu Fisikaren edozein arlotan, eta, izatez, ekuazio
diferentzialen linealtasunarekin lotuta dago. Fenomeno ber baten iturburu edo sortzaile
desberdinak daudenean erabiltzen da. Ondokoa dio: "Sortzaile desberdinen ondorioak
gainezarri edo batu egiten dira, magnitudeari dagokion moduan". Hau da, ondorioa
adierazten duen magnitudea eskalarra bada, eskalarki batzen dira; eta bektorea bada,
bektorialki batu beharko dira. Esan bezala, printzipio honek sistema fisikoaren eboluzioa
arautzen duen ekuazioa lineala denean balio du soilik, baina, edozertara, lehenengo
hurbilketan horrelako sistemekin egingo dugu lan.
Adibideak milaka jar daitezke. Demagun, kasu baterako, gorputz ber baten gainean
eragiten ari diren indarrak ditugula. Gainezarmenaren printzipioaren arabera, gorputza indar
erresultantearen eta beronen momentuaren eraginpean (ikus hurrengo gaiko 2.4. atala,
`kurtsoreen sistemak') higituko da. Baina indarrak (eta horien momentuak) bektorialki batu
beharko dira, noski. Modu berean, Elektrostatikan, karga-multzo batek sorturiko eremu
elektrikoa bakoitzak sorturikoen batuketa bektoriala da. Eta horrela, beste adibide asko.
1.4. OINARRIZKO MAGNITUDEAK ETA MAGNITUDE ERATORRIAK
Gertaera fisikoen behaketa kualitatiboki eta kuantitatiboki egin daiteke. Eta egin ere ho-
rrela egiten da. Kualitatiboki aztertuz, gertaeraren kualitate bakoitza magnitude-mota bat
da; eta magnitude bakoitza kuantitatiboki neurtzen da. Izatez, gutxi gorabehera, horixe izan
da magnitudea kontzeptuaren definizioa, hots, ondoko eskeman adierazi dena,
Has gaitezen ikuspegi kuantitatiboa aztertzen. Ikuspegi honen euskarria neurketa da.
­ Neurketak. Magnitude-mota bakoitzari dagokionez, teknika egokiak daude
neurketak egiteko. Magnitude batzuen kasuan, propietatea `patroi' edo `txantiloi'
batekin --unitatearekin-- konparatuz neurtzen da. Horrela zenbaki bat lortzen da,
patroiaren unitateetan adierazten dena.
Beste kasu batzuetan neurketaren definizio operazionala egiten da. Adibidez,
abiaduraren kasuan, lehenik luzera eta gero denbora neurturik (biak batera, hobeki
esanik), bi magnitude horien zatiketaz lortzen da abiadura.
­ Neurketetako perturbazioak. Sarri, neurketa egitean aldatu egiten ditugu inguru-
ko baldintzak eta neurketa ez da, beraz, izan behar zuena. Honelako kasuetan,
neurketa egitean perturbazio bat gertatu dela esan ohi da. Demagun, adibidez,
termometro baten bidez edalontzi bateko uraren tenperatura neurtu nahi dugula.
Termometroa uretan sartzean, urarenaz bestelako tenperatura badu, aldatu egingo
Kontzeptu eta ideia orokorrak 27
da pixka bat uraren tenperatura, eta termometroak neurtuko duena ez da izango
aurretik zegoen berbera.
Perturbazioez gain, errore esperimentalak ere hartu behar ditugu kontuan.
Neurgailua perfektua ez dela, edo gaizki erreglaturik dagoela, edo nekaturik gau-
dela, edo metodoa egokia ez dela, edota beste mila arrazoi tartean daudela, okerrak
edo akatsak ageri dira gure neurketetan, gu konturatu gabe: errore esperimentalak.
Neurketak gure mugen barnean `ongi' egon daitezen, edozein modutan, perturba-
zioek errore esperimentalek baino txikiagoak izan behar dute.
Perturbazioa sistematikoa denean, kalkulatu egiten da, eta gero zuzenketak egiten
dira neurketetan. Adibidez, termometro eta kalorimetroen kasuan, bien bero
espezifikoak kontuan hartuz, oso erraza da zuzenketak egitea.
Dena den, zuzenketak egitean, oso kontuan edukitzekoa da perturbazioen balio
erlatiboa. Fenomenoaren eta neurgailuak sortzen duen perturbazioaren mailak
konparagarriak badira, hots, maila berekoak badira, orduan beharrezkoa da zuzen-
keta egitea. Baina, perturbazioa erlatiboki txikia bada, batzuetan ez du merezi
zuzenketa egitea. Adibidez, termometro batek gela baten tenperatura neurtzean
sortzen duen perturbazioa guztiz arbuiagarria da.
Sistema mikroskopikoetan, jadanik Mekanika Kuantikoaren arloan sarturik, zehaz-
tasunaren kontzeptuak beste esangura bat hartzen du, zeren tartean ziurgabe-
tasunaren printzipioa baitago:
(1 ­ 1)
Horren arabera, ez da posible magnitude konjokatuen neurketetan (adibidez,
posizio eta momentu linealaren neurketan) zehaztasun osorik lortzea.
Ikuspegi kuantitatiboa nolabait landu ondoren, goazen orain magnitudeen izaera
kualitatiboa aztertzera.
­ Oinarrizko magnitudeak. Kualitatiboki era askotako magnitude fisikoak dauden
arren, beren artean era desberdinetako erlazioak daude. Magnitude batzuk, ordea,
ezin dira gehiago sinplifikatu edo besteren bidez eman, eta horregatik oinarrizkoak
direla esaten da. Sei dira Fisikaren oinarrizko magnitudeak:
­ Luzera.
­ Masa.
­ Denbora.
­ Korronte elektrikoaren intentsitatea (batzuetan, oinarrizko magnitude gisa
karga elektrikoa hartzen da, baina hori aukera kontua da; zer esanik ez,
sistema biak baliokideak dira).
­ Tenperatura termodinamikoa.
­ Argi-intentsitatea.
x p h
28 Fisika Orokorra
­ Magnitude eratorriak. Beste magnitude fisiko guztiak oinarrizko magnitudeen
konbinazioz lortzen dira. Kasurako, Mekanikaren arloan agertzen diren oinarrizko
magnitude bakarrak lehen hirurak dira (luzera, masa eta denbora). Horrela, indarra
masa eta azelerazioaren biderketaz lortzen da:
(1 ­ 2)
azelerazioa (a) abiaduraren (v) denborarekiko (t) deribatua izanik, eta abiadura
posizio bektorearen (r, luzera) denborarekiko deribatua:
(1 ­ 3)
(1 ­ 4)
1.5. UNITATE-SISTEMAK
Oraintsu arte era askotako sistemak erabili badira ere, gaur egun mundu osoko zientzialariek
unitateen sistema internazionala (SI sistema) erabiltzen dute ia esklusiboki, zenbait arlo
berezitan izan ezik. Sistema hau MKSAKC siglez ere bada ezaguna, letra horiek sei
oinarrizko unitateen sinboloak izanik:
M: metroa (luzera)
K: kilogramoa (masa)
S: segundoa (denbora)
A: amperea (korronte elektrikoaren intentsitatea)
K: kelvin gradua (tenperatura)
C: kandela (cd, argi-intentsitatea)
Gorago esan dugunez, batzuetan amperea erabili beharrean coulomb izeneko unitatea
(karga elektrikoa) erabiltzen da. Nazioarteko sistema hau Giorgi sistema ere izan da deitua,
lehen lau unitateei dagokienez behintzat.
Lehenago, cgs sistema ere erabiltzen zen, honako oinarrizko unitateekin:
c: zentimetroa (cm)
g: gramoa
s: segundoa
Zenbait liburutan `sistema teknikoa' deritzona ere erabili izan da. Sistema honetan ez
da masa oinarrizko magnitude gisa erabiltzen. Masaren ordez, pisua (indarra) hartzen da
oinarritzat. Bestalde, sistema anglosaxoietan unitateak korapilatu egiten ziren, oinbeteak
(luzera), librak (masa) eta antzeko unitateak erabiltzen baitziren; baina gaur egunean,
liburu zientifikoetan ez dira erabiltzen.
1.6. DIMENTSIO-EKUAZIOAK
Dimentsio-ekuazioek edozein magnitudek oinarrizko magnitudeekiko duen konposizioa
adierazten dute. Mekanikaren arloan hiru oinarrizko magnitudeak honelaxe adierazten dira:
v
r
=
d
dt
.
a
v
=
d
dt
,
F a= m ,
Kontzeptu eta ideia orokorrak 29
masa: M
luzera: L
denbora: T
Magnitude fisiko baten dimentsio-ekuazioa, magnitude hori adierazten duen letra
kortxete artean jarriz adierazten da. Demagun, adibidez, indarra:
Beronen dimentsio-ekuazioa hauxe da, eta honelaxe idazten da:
(1 ­ 5)
Hau da, masa, luzera eta denboraren bigarren berretura negatiboa elkarrekin biderka-
tuz lortzen da indarra. Beraren unitateak, MKS sisteman, hauexek izango dira:
indar-unitatea
Ikus ditzagun zenbait magnituderen dimentsio-ekuazioak:
­ Pisu espezifikoa
(1 ­ 6)
­ Dentsitatea (edo masa espezifikoa)
(1 ­ 7)
Ikus daitekeenez, sarri nahasturik erabiltzen diren bi magnitude horiek oso desber-
dinak dira dimentsionalki.
­ Lana
(1 ­ 8)
­ Energia zinetikoa
(1 ­ 9)
­ Energia potentziala
(1 ­ 10)E mghp[ ]= [ ]= ( ) =- -
M L T L M L T .22 2
E mk[ ]=


= ( ) =- -1
2
2 1 2 2
M L T M L T .2
W[ ] = [ ] = =- -
F l M L T L M L T .22 2
[ ]=


= = -Masa
Bolumena
M
L
M L3
3
.
[ ]=


= =
-
- -Indarra
Bolumena
M L T
L
M L T
2
3
2 2
.
kg m s alegia,
kilogramo metro
segundo
2






.2
F a a[ ] = [ ] = [ ][ ] = -
m m M L T 2
.
F a= m .
30 Fisika Orokorra
Kasu honetan, ostera, izen desberdineko hiru magnitude horiek dimentsio-ekuazio
berbera dute.
Dimentsio-ekuazioek garrantzia dute lege fisikoak idaztean, zeren eta, ekuazioen parte
biek (eta batugai desberdinek) kobariante izan behar duten modu berean, dimentsio-ekuazio
berbera eduki behar baitute.
Bukatzeko, zenbait magnitude erlatiboren kasua aipatuko dugu. Magnitude erlatiboak
dimentsio-ekuazio berbera duen beste magnitude batekiko definitzen dira, eta, ondorioz, ez
dute dimentsiorik; horregatik, magnitude adimentsionalak direla esan ohi da. Zenbait
adibide jarriko ditugu:
­ Dentsitate erlatiboa. Uraren dentsitatearekiko definitzen da:
(1 ­ 11)
1.1. irudia. Angeluaren definizioa, magnitude erlatibo modura.
­ Angelua. Radianetan honelaxe neurtzen da angelua:
(1 ­ 12)
Ondorioz, beraren dimentsioak
(1 ­ 13)
dira; hots, magnitude adimentsionala da. Gauza bertsua gertatzen da estereorradia-
na definitzean (angelu solidoa, alegia).
Honelako magnitude erlatiboetatik beste magnitude batzuk atera daitezke. Adibi-
dez, abiadura angeluarra angelua denboraz zatituz lortzen da:
(1 ­ 14)

=
t
,
[ ] =


= =
l
R
L
L
M L T0 00
=
l
R



er
ura
0 0M L
M L
M L T[ ]=





= =
-
-
3
3
0
.
Kontzeptu eta ideia orokorrak 31
=
l
R
,
.
eta beraren dimentsioak honako hauek dira:
(1 ­ 15)

[ ] =


= -
t
T 1
.
32 Fisika Orokorra

Fisika orokorra (2. argitalpena)