ESTATISTIKARAKO
SARRERA. ARIKETAK
Estatistika deskribatzailea eta
datu anizkoitzen analisia
Plangintza berriei egokitua
Karmele Fernandez
Jesus Orbe
Marian Zubia
© Karmele Fernandez, Jesus Orbe, Marian Zubia
© Udako Euskal Unibertsitatea
ISBN: 84-86967-80-5
Lege-gordailua: BI-353-97
Inprimategia: RGM Servicio de Impresión, Padre Larramendi 4. BILBO
Azaleko diseinua: Iñigo Ordozgoiti
Banatzaileak: UEU. General Concha 25, 6. BILBO telf. 4217145
Zabaltzen: Igerabide, 88 DONOSTIA
AURKIBIDEA
HITZAURREA ................................................................................................ IX
1. EZAUGARRI ESTATISTIKO BAKUNAK .................................................... 1
ADIERAZBURUAK ................................................................................. 1
Maiztasun-banaketak
Taulak
Adierazpide grafikoak
Momentuak
Balio tipiko edo estatistikoak
Aldagai-aldaketa
Zentratze eragiketa
Tipifikazio edo Standardizazioa
Kontzentrazio-neurketak
EBAZPIDEAK .......................................................................................... 14
BESTE ADIERAZBURU BATZU ............................................................. 38
2. EZAUGARRI ESTATISTIKO BIKOITZAK .................................................. 47
ADIERAZBURUAK ................................................................................. 47
Maiztasun-banaketak
Adierazpide grafikoak
Taula baten dependentzia edo independentzia
Momentuak
Koerlazio koefizientea
Aldagaien aldaketak
EBAZPIDEAK .......................................................................................... 52
BESTE ADIERAZBURU BATZU ............................................................. 59
Aurkibidea __________________________________________________________________ V
3. KOERLAZIOA ETA ERREGRESIOA ......................................................... 67
ADIERAZBURUAK ................................................................................. 67
Batezbestekoaren erregresioa
Erregresio lineala
Erregresio polinomikoa
koerlazio partziala
EBAZPIDEAK .......................................................................................... 83
BESTE ADIERAZBURU BATZU ............................................................. 103
4. ZENBAKI INDIZEAK ................................................................................. 135
ADIERAZBURUAK ................................................................................. 135
Indize sinpleak
Indize konplexuak
· Ponderaziorik gabeko indize konplexuak
Batezbesteko aritmetiko sinplearen metodoa
Batezbesteko agregatu sinplearen metodoa
· Indize konplexu ponderatuak
Laspeyres-en indizea
Paasche-ren indizea
Fisher-en indizea
EBAZPIDEAK .......................................................................................... 142
BESTE ADIERAZBURU BATZU ............................................................. 151
5. DESKRIBAPEN ESTATISTIKOEN ADIERAZPIDE GEOMETRIKOAK .... 157
ADIERAZBURUAK ................................................................................. 157
Indibiduoen eta aldagaien puntu-hodeia
Zentratze, tipifikatze eta normatze eragiketak hodei bakoitzean
Bi aldagaien arteko posizio erlatiboa. Koerlazioa
Erregresio bakuna aldagai estatistikoen espazioan
EBAZPIDEAK .......................................................................................... 159
VI ____________________________________________________________________________
6. OSAGAI NAGUSIZKO ANALISIA ............................................................. 163
ADIERAZBURUAK ................................................................................. 163
Baterako inertziaren deskonposaketa grabitate-zentrutik pasatzen
den edozein zuzenarekiko
Doikuntza ortogonalaren zuzena
Trantsizio erlazioak
Aurkezpen grafikoa
Osagai nagusizko analisia
Analisi zentratua
Analisi normatua
Aldagaien hodeia
Indibiduoen hodeia
Baterako aurkezpen grafikoa
EBAZPIDEAK .......................................................................................... 178
BESTE ADIERAZBURU BATZU ............................................................. 192
GALDERA-SORTAK ...................................................................................... 213
ERANTZUNAK ....................................................................................... 303
Aurkibidea __________________________________________________________________ VII
HITZAURREA
Eskuartean daukazun liburua, Sarrikoko Ekonomi eta Enpresa Zientzien
Fakultatean ESTATISTIKARAKO SARRERA asignaturetan landutako material
praktikoa da.
Liburu honen aurretik 1985 eta 1991 urteetan ariketen liburuak argitaratu
genituen; bietan plangintza zaharreko ESTATISTIKARAKO SARRERA
asignaturaren ariketak biltzen genituen eta bigarrenean Probabilitate Teoria eta
Inferentza Estatistikoaren ariketa batzuk ere bai.
Plangintza berriak suposatu duen estatistikaren birmoldaketa kontutan hartuz
eta azken urte hauetan landu dugun materialarekin osotuz liburu hau kaleratzen
dugu aipatutako asignaturaren teori-liburuaren osagarri bezala.
Bide batez esan, duela hilabete bat argitaratu dugula Probabilitate Teoria eta
Inferentzia Estatistikoaren ariketen liburua Estatistika I eta Estatistika II izenpean,
plangintza berriaren bi asignatura hauetako material praktikoa delarik.
Bi liburuak, asignatura hauetan irakasle elebidun bezala lan egiten dugunon
talde lana dira; baina meritua ez da bakarrik gurea, lan-talde handiago batean
gurekin hiru asignaturetan diharduten beste irakasle guztiena ere bada.
Bukatzeko, gure eskerrik beroenak gure kide guztiei eta lan honen
prestaketan lagundu diguten UEUko guztiei.
Karmele Fernandez
Jesus Orbe
Marian Zubia
Eskerrak ___________________________________________________________________ IX
1. EZAUGARRI ESTATISTIKO BAKUNAK
ADIERAZBURUAK
1.1. Ondoko taulan, X aldagaiaren banaketa emanik:
xi : 0 1 2 3
ni : 2 3 1 5
Atera itzazu:
1) 2. ordenako momentu arrunta edo jatorriarekikoa.
2) 2. ordenako momentu zentrala edo batezbestekoarekikoa.
3) 2. ordenako momentua xo = 2 balioarekiko. Azal itzazu lortutako emaitzak.
1.2. Demagun asmatutako bi herritarako populazio-datuak ditugula:
ZIMBA SILDAVIA
Adina Gizonezkoak Emakumezkoak Gizonezkoak Emakumezkoak
0-10 200 200 500 500
10-30 100 300 1200 800
30-60 60 100 800 700
60-80 15 25 200 300
1) Egin itzazu herri horiei dagozkien populazio-piramideak.
2) Konpara itzazu biak, desberdintasunak aipatuz.
1.3. Ondoko taulan herrialde bateko udalen banaketa aurkezten dugu beraien
biztanle-kopuruen arabera:
Biztanleak : X Udal-kopurua: n
x 10.000 90
10.000 x 50.000 600
50.000 x 150.000 300
150.000 x 450.000 10
Honakoa eskatzen da:
1) Banaketa grafikoki adieraztea.
2) Batezbesteko aritmetikoa, mediana, moda, batezbesteko desbidazioa,
desbidazio tipikoa eta go aldakuntza-koefizientea.
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 1
1.4. Ondoan, "per capita" errentan eta petrolio-erreserbatan munduko errekor
batzuk dituelarik, Pertsiar Golkoan dagoen herri txiki baten estatistika
demografikoaren laburpena daukagu.
Adina Biztanleak milakotan
1966-XII-31 Emakumezkoak Gizonezkoak
0 - 9 70 75
10 - 29 80 130
30 - 49 35 75
50 - 79 15 20
Honakoa eskatzen da:
1) Grafikoki adieraztea (histogramak edo piramidea)
2) Zentrurako joeraren eta sakabanatzearen neurriak.
3) Azal itzazu laburki ateratako emaitzak.
1.5. Goi-mailako bi ikastetxetan, ikasleen adinak honela banatzen dira:
Urteak (mailak) M.E. Ikastetxea E.F. Ikastetxea
17 - 19 400 750
20 - 25 400 2.000
26 - 37 200 250
Konpara itzazu, histogramen, zentrurako joeraren eta sakabanatzearen balio
tipikoen bidez, ikastetxe horiei dagozkien maiztasun-banaketak.
1.6. Berrogei ikasle dituen talde batek S asignaturan lortutako kalifikazioak hauek
izanik:
4 5 5 2 0 1 7 6 3 2
1 6 7 6 4 5 4 2 3 3
8 7 4 4 3 6 5 9 1 8
3 5 5 4 6 8 5 7 3 4
Honakoa eskatzen da:
1) Aurkez ezazu, grafikoki, talde horren kalifikazioen banaketa.
2) Atera itzazu batezbesteko aritmetikoa, moda, mediana, bariantza eta
aldakuntza-koefizientea.
3) Adieraz itzazu laburki lortutako emaitzak.
2 ____________________________________________________________________________
1.7. Herri bateko burdingintza sektoreko 10 enpresak dituzten faktoriak, hauexek
dira:
Enpresak Faktori kopurua
3 enpresak 1
2 enpresak 2
5 enpresak 3
Honakoa eskatzen da:
1) Maiztasun-banaketa hori adierazten duen barra-diagrama.
2) Banaketa horren go, g1, g2 koefizienteak; aldakuntza, asimetri eta kurtosi
koefizienteak, hain zuzen.
3) Lortutako balioen esangura, laburki, adieraztea.
1.8. Ondoko taulan Bizkaitik Karlos II.aren gudetara bere 35 urteko aginte-garaian
urtez urte joaten ziren gizaseme kopuruak ikusten ditugu:
200 300 100 100 0
200 0 0 200 0
0 400 0 0 400
0 1.000 300 0 0
0 0 0 0 100
0 300 0 200 200
0 0 100 300 0
Honakoa eskatzen da:
1) Maiztasun-banaketaren adierazpide grafikoa.
2) Zentrurako joeraren balio ezagunenak.
3) Sakabanatze-balio ezagunenak.
1.9. Erostetxe bateko erosleen gastuak aztertu ondoren, gastuak honela banatu
ziren milaka pezetatan:
Gastu-tarteak Maiztasunak
0 - 4'99 5
5 - 9'99 10
10 - 14'99 14
15 - 19'99 20
20 - 24'99 35
25 - 29'99 15
30 - 34'99 1
Honakoa eskatzen da:
Kalkula itzazu neurri hauek, beren esanahia adieraziz: batezbestekoa,
desbidazio tipikoa, aldakuntza-koefizientea eta moda.
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 3
1.10. Populazio batean 20 pertsonako lagin bat hartu da. Altuerak neurtu dira eta
ondoko emaitzak lortu ditugu:
1'65 - 1'70 - 1'68 - 1'82 - 1'80 - 1'45 - 1'56 - 1'35 - 1'90 - 1'56
1'88 - 1'66 - 1'65 - 1'55 - 1'57 - 1'60 - 1'62 - 1'90 - 1'82 - 1'65
Kalkula itzazu zentrurako joeraren balio tipikoak (batezbestekoa, moda,
mediana) eta sakabanatzearenak (bariantza, desbidazio tipikoa eta
ibiltartea).
1.11. Talde bat osatzen duten hogei gazteri, proba psikotekniko berezi bat egin
zaie, ondoko puntuazio hauek lortu dituztelarik:
91 92 83 80 87 94 91 86 89 94
85 92 90 89 85 86 90 85 87 84
Honakoa eskatzen da:
1) Zabalera berdineko 4 unitate ibiltarteaz dauzkaten taldetan sailka itzazu
datuak eta lortzen den maiztasun-banaketaren adierazpide grafikoa egin.
2) Atera itzazu batezbestekoa, mediana, moda, bariantza, desbidazio tipikoa
eta aldakuntza-koefizientea.
3) Azal itzazu emaitzak taula argi baten bidez eta balora ezazu, gazte-talde
horretaz, emaitza horiek emandako informazioa.
1.12. Ondorengo multzoan, dimentsio geopolitiko berdintsuak dituzten 20
estatuetarako, (N.P.G) Nazio Produktu Gordina/biztanle, aldagai estatistikoa
ikertu nahi da.
Ondoko datuak 1981. urterako izanik:
ALEMANIAKO ERREPUBLIKA FEDERALA 11.730 $
FRANTZIA 9.940 $
ITALIA 5.240 $
ESPAINIA 4.340 $
POLONIA 3.840 $
VENEZUELA 3.130 $
JUGOSLAVIA 2.430 $
TURKIA 1.330 $
KOLONBIA 1.010 $
MAROKO 740 $
PERU 730 $
NIGERIA 670 $
FILIPINAK 600 $
4 ____________________________________________________________________________
THAILANDIA 590 $
EGIPTO 460 $
KENYA 380 $
UGANDA 290 $
TANZANIA 270 $
BIRMANIA 160 $
ETIOPIA 130 $
Honakoa eskatzen da:
1) Ondoko bost tarte hauetan taldeka itzazu balioak (0;500), (500;2000),
(2000;4000), (4000;8000), (8000;12000) dagokion maiztasun absolutu
eta erlatiboen taula osatuz eta ateratzen den banaketa histogramaren
bidez grafikoki adieraziz.
2) Estima itzazu banaketaren mediana eta moda.
3) Kalkula itzazu batezbesteko aritmetikoa, desbidazio tipikoa eta aldakun-
tza-koefizientea, klase-ordezkaritzat tarteen erdiko puntuak harturik.
4) Komenta itzazu laburki, banaketaren asimetria eta soslaia.
1.13. Ondoko taulan, L.H.n diharduten 100 ikasle daude banatuta adinaren
arabera.
Adina: 6 7 8 9
Maiztasunak: 35 49 14 2
Honakoa eskatzen da:
Lor itzazu batezbesteko aritmetikoa, mediana eta moda, ondoko bi
ikuspuntuak kontutan harturik:
1) Adina praktikoki diskretua dela kontsideratzen da.
2) Adina ezaugarri jarraia da. Kasu honetan klase-ordezkaritzat, tartearen
erdiko puntua hartu behar da.
3) Emaitzen irazkina edo komentarioa.
1.14. Banaketa baten a1, a2, a3 momentuak ondokoak izanik:
a1 = 10 a2 = 116 a3 = 1160
Lor itzazu go eta g1 koefizienteak eta komenta ezazu banaketa horren
posizioaz, sakabanatze erlatiboaz eta asimetriaz ikusten duzuna.
1.15. 1) Froga ezazu g1 asimetri koefizientea neurri-unitatearen aldaketarekiko
independentea dela.
2) Atera ezazu kurtosi koefizientea ondoko banaketarako, bere balioaren
esangura azalduz.
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 5
xi ni
1 2
2 4
3 5
4 3
1.16. 1) Maiztasun-banaketa baten ondoko momentuak ditugularik:
a1 = 3 a2 = 18 m3 = -905 m4 = 243
Kalkula itzazu bariantza, desbidazio standarda, asimetri eta kurtosi
koefizienteak.
Marraz ezazu banaketaren soslaia.
1.17. Aldagai estatistiko baten aurreneko bi momentu arruntak ezagutzen dira:
a1 (x) = 40 a2 (x) = 2.500
1) Lor itzazu bariantza, batezbestekoa eta aldakuntza-koefizientea.
2) Beste aldagai estatistiko bat 1) ataleko aldagaiarekin, ondoren azaltzen
den transformazioaren bidez erlazionatuta dagoela dakigu:
Y = 5 X + 100
Lor itzazu aldagai berriaren batezbestekoa, bariantza eta aldakuntza-
-koefizientea.
1.18.- Ikasle batek A eta B asignaturetan ondoko notak lortu ditu: 80 eta 98
puntuak, hurrenez hurren.
A asignaturaren puntuen banaketak, 75 puntu ditu batezbestekoz eta 10
puntu desbidazio tipikoz.
B asignaturaren puntuen banaketak, aldiz, 90 puntu batezbestekoz eta 15
desbidazio tipikoz.
Zein asignaturatan atera du posturik onena?
1.19. Familia batek jolasaldi, atsedenaldi eta aisialdietan egindako gastuak 20.000
pezetakoak dira batezbeste urte guztiko lan-hilabeteetan. Opor-hilabeteetan
berriz 2´5 bider gehiago dira.
Bere etxebizitza dagoen auzoan egindako gastuak 15.500 pta/hilabete
familia dira batezbeste eta 3.500 pta/hilabete familiako desbidazio tipikoa
dago.
6 ____________________________________________________________________________
Oporrak igarotzen dituen tokian, berriz, balio horiek 42.000 pta eta 7.500
pezetakoak dira hurrenez hurren. Zein toki dago, gastu horien arabera,
egoera hobean?
1.20. Ondoan daukagun nomina-zerrendan, "Hileroko ordainketa" aldagaiari
dagozkion balioak azaltzen dira 25 langileentzako.
LANGILEA HILEROKO ORDAINKETA GUZTIRA
1 ALVILLOS Agirre Maria Pilar 80.000 pezeta
2 ARRESE Oceja Emilio 200.000 "
3 BANDAÑA Rodriguez Crisanto 120.000 "
4 BERNARDO Perez Antonia 200.000 "
5 CALVO Artazkotz M. Jose 80.000 "
6 CERCEDA Amulio Germán 120.000 "
7 CHARLOT Gómez Luis 40.000 "
8 EGIA Arozena Enrique 80.000 "
9 FEO González Fermín 40.000 "
10 FUNOLL Varela Paula 80.000 "
11 GARIN Frade Pedro 200.000 "
12 GONZALEZ Navarro M. Carmen 80.000 "
13 HINOJAL Calvo Gregorio 120.000 "
14 JUARISTI Eizagirre Edurne 80.000 "
15 LIZASO Urkiza Valentin 320.000 "
16 MAR Herrera M. Luisa 40.000 "
17 MENDIBE Abasolo Jenaro 40.000 "
18 NAVARRO Carreño José Ramón 200.000 "
19 PAVON Mendibe M. Nieves 120.000 "
20 RASTRILLA Frías Borja 120.000 "
21 RUEDA Carrizo Benedicto 120.000 "
22 SANTAMARINA Pascual Micaela 80.000 "
23 TATO Carreira Gerardo 80.000 "
24 VALDEMOROS Artesero Filomena 80.000 "
25 ZABALA Macía Agustina 80.000 "
GUZTIRA: 2.800.000 pezeta
Edurne Juaristi
Bilbo, 1984.eko otsailaren 28an
Honakoa eskatzen da:
1) Aldagai horren banaketaren maiztasun absolutu eta erlatiboen taula.
2) Banaketa hori errepresentatzen duen barra-diagrama marraztea.
3) Ezagutzen diren zentrurako joeraren balio tipikoak.
4) Ezagutzen diren sakabanatzearen balio tipikoak.
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 7
5) 2) atalean lortutako adierazpen grafikoa ikusiz, esan ezazu g1, g2
koefizienteen zeinua zein den.
6) Atera itzazu, "hileroko ordainketa" aldagai estatistikoaren balioei
(pezetatan emanda) dagozkien balio zentralak eta tipifikatuak.
7) Azter ezazu "hileroko ordainketen" kontzentrazio-maila Lorenz-en kurba
eta Gini-ren indizearen bidez.
Komenta ezazu laburki lortutako emaitza.
1.21. Laborategi bateko enplegatuak 3 mailatan sailkatuta daude eta 1989ko
abenduaren alokairuak ondokoak dira:
Enplegatuak Hileroko Alokairuak
Teknikariak % 10 [190.000;210.000]
Administrariak % 25 [100.000;125.000]
Langileak % 65 [125.000;190.000]
Eskatzen da:
1) Maiztasun-banaketaren adierazpide grafikoa.
2) Kalkula ezazu enpresa horren batezbesteko alokairua eta azter ezazu bere
errepresentagarritasuna alokairuen multzoan.
3) Estima ezazu enplegatuen kopuru handienak jasotzen duen alokairua.
4) Komenta ezazu aurreko ataletan banaketari buruz lortu dugun
informazioa.
1.22. Aldagai diskretu batek x1 < x2 < x3 < x4 < x5 balioak hartzen ditu, n1 = n4 =
n5 = 1, n2 = 2 eta n3 = 3 maiztasunekin. Gainera, xi xi1 = 2 i.
1) Adieraz ezazu banaketa hau grafikoki.
2) Azal ezazu batezbesteko aritmetikoa, mediana eta moda, x1 balioaren
funtzioan.
3) Aurki ezazu desbidazio tipikoa eta ibiltartea.
4) Azal ezazu zergatik batezbestekoa, mediana eta moda x1 balioaren
menpe dauden eta desbidazio tipikoa eta ibiltartea berriz ez.
1.23. 5 seme-alaba dituzten 200 familia inkestatu dira beraien seme kopuruari
buruz galdetuz. Honako erantzunak lortu dira: %5ak ez du semerik, % 10ak
seme bakarra du, %20ak bi seme ditu, %25 hiru seme ditu, % 30ak lau seme
ditu eta gainontzekoek 5 seme dituzte.
1) Iker ezazu maiztasun banaketa hau posiziozko 3 estatistiko erabiliz eta
informazio gehien ematen dutela uste duzun sakabanatzearen hiru
estatistiko erabiliz.
2) Iker ezazu era berean, grafiko eta estatistiko egokienak erabiliz, 200
familietan seme kopuru totalaren kontzentrazioa.
8 ____________________________________________________________________________
1.24. Hurrengo taulak fakultate bateko ikasleen banaketa agertzen du altueraren
arabera:
x1 % fi
[1,50;1,60[ 20
[1,60;1,70[ 30
[1,70;1,80[ 40
[1,80;1,90[ 10
Eskatzen da:
1) Errepresenta ezazu banaketa hau grafikorik egokiena erabiliz.
2) Estima ezazu batezbesteko altuera, mediana eta gehien errepikatzen den
altuera.
3) Kalkula ezazu desbidazio tipikoa eta aldakuntza-koefizientea.
4) Zein aldagai aldaketa erabiliko zenuke eragiketak errazteko?
5) Hurbil dagoen institutu batean batezbesteko altuera 1,60 m da eta
desbidazio tipikoa 15 cm. Ruben Faro, 1,73 m, azalduriko fakultatera
doa eta bere anaia Ibon, 1,70 m, berriz, institutura. Bietatik zein da
altuagoa bere kolektiboarekiko?
1.25. Ezaugarri estatistiko diskretu batek, ondorengo balioak hartzen ditu: x1 = 1,
x2 = 4, x3 = 7, x4 = 10. Badakigu, f1 = f4 dela eta g1(x) = 0.
1) Lor ezazu ( ) batezbestekoaren balioa. Arrazona ezazu erantzuna.
2) Gainera a2(x) = 39,7 dela jakinik, kalkula itzazu f1, f2, f3, f4 balioak eta
marraz ezazu dagokion adierazpide grafikoa.
3) y = (x 4)/3 transformazioa kontsideratuz, lor itzazu ondorengo
estatistikoak:
1.26. I.M.N.E.B.ren ordezkaritza probintzialeko enplegatuen hileroko soldatak
honela banatzen dira:
40 enplegatuk ...... 50.000 pezeta bakoitzak.
100 enplegatuk ...... 100.000 pezeta bakoitzak.
40 enplegatuk ...... 200.000 pezeta bakoitzak.
20 enplegatuk ...... 500.000 pezeta bakoitzak.
Honakoa eskatzen da:
1) Barra-diagrama, enplegatuen soldaten araberako banaketa grafikoki
adierazteko.
2) Banaketa honen go, aldakuntza-koefizientea, hain zuzen.
3) Lorenz-en kurba, soldaten/enplegatuen arteko banaketa aurkezteko.
4) GINI-ren indizea, kontzentrazio-maila neurtzeko.
y, Sy
2
eta go(y).
x
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 9
1.27. Talde bateko 10 lagun beraien sarrera-mailen arabera sailkatu dira:
Klase-ordezkariak: 1 4 10
Lagunak: 5 4 1
1) Lor ezazu Gini-ren indizea, talde horretan sarreren kontzentrazioa
erakusteko.
2) Sarrera txikienak dituzten bi mailak sail batean hartzen baditugu:
Klase-ordezkaria : x y
Lagunak : 9 1
Zein dira x eta y-ren balioak Gini-ren indizeak lehenengo balioa eduki
dezan?
1.28. Ondoko taulan, Elkarte Anonimo bateko akziodunen artean akzio-tituluen
kopurua banaturik daukagu:
Titulu kopurua/Akziodun Akziodun kopurua
25 4
5 40
1 100
100 1
Honakoa eskatzen da:
1) Banaketari dagokion Lorenz-en kurba, kontzentrazioa grafikoki aurkez
dezagun.
2) Gini-ren indizea, banaketaren kontzentrazioa neur dezagun.
1.29. VD zerbitzu publikoaren sukurtsalaren banaketa estatuko 50 probintzietan,
honako hau da:
Sukurtsal kopurua/Probintzia Probintzi kopurua
1 30
20 3
10 5
5 12
Honakoa eskatzen da:
1) Banaketa horren Lorenz-en kurba marraztea.
2) Banaketaren Gini-ren indizea kalkulatzea.
1.30. Ondoko 120 gazteen taldea sailkatuta daukagu, bakoitzaren disko
kopuruaren arabera:
10 ____________________________________________________________________________
Diskoak Gazteak
1 - 5 20
6 - 12 40
13 - 25 40
26 - 45 20
Honakoa eskatzen da:
1) Eraiki ezazu Lorenz-en kurba, talde horretako diskoen banaketa
ikustarazteko.
2) Kalkula ezazu berari dagokion Gini-ren kontzentrazio-indizea.
1.31. Ondoko taulan, Estatuko probintzien banaketa datorkigu, bakoitzaren
produkzio total garbiaren arabera, 1975. urterako eta milioika pezetatan:
Batezbesteko Probintzi
Mailak produkzioa kopurua
150.000 baino gehiago 400.000 5
50.000 baino gutxiago 30.000 15
Beste gainerakoak 100.000 30
Honakoa eskatzen da:
1) Banaketa hau, histograma baten bidez, grafikoki aurkeztea.
2) Gini-ren indizea eta Lorenz-en kurbaren bidez 50 probintzietan
produkzio totalaren kontzentrazioa aurkeztea.
1.32. Hiri batean bi mila familia bizi dira. Dituzten hileroko sarrerei buruz
informazioa jaso da:
900 familiak 150.000-300.000 pta/hilabete jasotzen dute
800 " 50.000-150.000 " " "
200 " 300.000-500.000 " " "
100 " 0- 50.000 " " "
Honakoa eskatzen da:
1) Familien banaketa adierazten duen histograma, "hileroko sarrera"
aldagai estatistikoaren arabera.
2) Banaketa horren modaren estimazioa.
3) Bi mila familietan "hileroko sarrera" totalaren kontzentrazioa adieraziko
duen Lorenz-en kurba.
4) Kontzentrazio hori neurtuko duen Gini-ren indizea.
5) Lortutako emaitzak aztertzea.
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 11
1.33. Mboene enpresa afrikarraren hileroko alokairuen banaketa (finkatuta dagoen
herriari dagozkion pezetatan) ezagutzen dugu:
10 langilek 400.000 pta
40 langilek 137.500 pta
50 langilek 10.000 pta
Boe-Buba enpresa afrikarraren hileroko alokairuen banaketa ere badugu,
finkatuta dagoen herriko pesotan:
20k 150.000 peso
80k 6.250 peso
100ek 15.000 peso
1) Konpara ezazu bi banaketen uniformetasun-maila, Lorenz-en kurba eta
Gini-ren indizearen bidez.
2) Komenta ezazu laburki lortutako emaitza.
1.34. Estatu konkretu batean eta data zehatz batean ondorengo informazioak hartu
ditugu:
10 milioi familia ditu.
Hilean 200.000 pezeta baino gehiago jasotzen duten 2 milioi familiek,
estatuko famili errenta totalaren ehuneko 55a hartzen dute.
Hilean 100.000 pezeta baino gehiago jasotzen duten 4 milioi familiek,
estatuko famili errenta totalaren ehuneko 75a jasotzen dute.
Hilean 50.000 pezeta baino gehiago jasotzen duten 8 milioi familiek,
estatuko famili errenta totalaren ehuneko 95a jasotzen dute.
Honakoa eskatzen da:
1) Lorenz-en grafikoa marraztea, famili errentaren banaketa adieraziz.
2) Dagokion Gini-ren kontzentrazio-indizea kalkulatzea.
1.35. Berrehun langile dituzten A eta B enpresetan, langileak eta hileroko
alokairuak honela banatzen dira:
A Enpresa B Enpresa
Alokairuak Langileak Alokairuak Langileak
4.500 90 6.000 80
2.000 20 7.000 100
8.000 30 10.000 20
3.000 50
10.000 10
12 ____________________________________________________________________________
Honakoa eskatzen da:
1) Enpresa bakoitzaren batezbestekoa, mediana, desbidazio standarda eta
aldakuntza-koefizientea.
2) Enpresa bakoitzaren alokairu-banaketari dagokion Gini-ren kontzen-
trazio-indizea.
3) Konpara itzazu bi alokairu-banaketak lortu dituzun estatistikoen arabera.
1.36. Ekonomialari bate, sektore bereko bi enpresaren alokairuen banaketaren
parekatze-ikasketa egin nahi du. Bildutako datuak, hurrengo tauletan
sailkatuta aurkezten dira (alokairuak milaka pezetatan adierazita daude):
Alokairua Langile kop. Alokairua Langile kop.
80-100 60 80-150 600
100-130 48 150-250 480
130-175 32 250-300 320
175-225 10 300-350 100
150 1500
Eskatzen da:
1) Banaketa horien aurkezpen grafikoak, zuzenki konparagarriak,
berdintasunak edo ezberdintasunak komentatuz.
2) Enpresa bakoitzaren batezbesteko alokairua. Zein enpresatan da
errepresentagarriagoa batezbesteko alokairua?
3) Enpresa bakoitzaren alokairuen kontzentrazio-maila eta bere aurkezpen
grafikoa.
4) Komenta itzazu lortutako emaitzak.
1.37. UNISID enpresan hamar mila produktorek egiten dute lan. Beraien
alokairuak, kategoria desberdinen arabera, honako hauek dira:
Alokairuak 103 pezetatan Produktore kopurua
200 400 400
400 800 100
40 80 6000
80 160 3000
160 200 500
1) Azter ezazu UNISID-eko alokairuen sakabanatzea batezbesteko
aritmetikoarekiko.
2) Azal ezazu, estatistiko egokiak erabiliz, zein uniformetasun gradu
dagoen enpresa honetako alokairu masaren banaketan langileen artean.
3) Hobekien ordaindutako langileetako %5ak, nominako zein zati jasotzen
du?
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 13
1.38. Bi herrialdetan lortutako banaketak, honako hauek dira:
A Herrialdea B Herrialdea
Errenta-maila Indibiduo Errenta-maila Indibiduo
106pta-tan kopurua 106pta-tan kopurua
6.5 10 40 6.5 10 80
4.5 6.5 60 4.5 6.5 220
2.5 4.5 180 2.5 4.5 200
1.5 2.5 200 1.5 2.5 400
0.5 1.5 320 0.5 1.5 600
Guztira 800 Guztira 1500
Honakoa eskatzen da:
1) Baiezta ezazu herrialde bakoitzaren errenta totalaren kontzentrazioa ez
dagoela errenta-mailaren menpe, maila horietan sartutako indibiduo
kopuruaren menpe baizik. Komenta itzazu lortutako emaitzak.
2) Irudika ezazu grafikoki, bi banaketetako errenta totalaren kontzentrazio-
-maila.
3) Kontzentrazio-maila kalkulatuko bagenu, bi banaketen datuak batera
hartuz, nolakoa izango litzateke lortutako balioa, bi aurrenekoen batura
edo bien artekoa? Arrazona ezazu, laburki, zure erantzuna.
EBAZPIDEAK
1.1.
Bariantza bigarren ordenako momentu zentralik txikiena bezala aurkezten
zaigu. Bestalde, m2 eta a2,2 momentuek hurbileko balioak dituzte; = 1,82 eta
2 ere hurbilekoak baitira.
1.2.
1) Populazio-piramideak
ZIMBA SILDAVIA
1,25
3,3
0,75
2
5 15
2020
5,3 4,6
2 3
10 10
12 8
x
a2 = 4,73; m2 = Sx
2
= 1, 42; a2,2 = 1,45
14 ____________________________________________________________________________
2) ZIMBAren soslaiak jaiotza-tasa garrantzitsua eta gizonezkoen emigrazio
handia adierazten du. SILDAVIArenak, ordea, jaiotza-tasa eta hilkortasun
txikiagoa. Halaber, gizonezkoen inmigrazio handia adierazten du.
1.3.
1)
2) = 51.450 biztanle DMe = 28.737 biztanle
Me = 37.333 biztanle D = 34.101 biztanle
Mo = 20.000 biztanle Sx = 42.369 biztanle
go = % 82,4
Banaketa, modabakarra eta eskuinerantz asimetrikoa izanik, Mo Me
betetzen da.
Halaber, DMe D Sx betetzen dela ikusten dugu.
1.4.
1) Populazio-piramidea
80
50
30
10
0
EmakumezkoakGizonezkoak
x
x
x
x
4501505010
150
90
30
0,32
H
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 15
2)
3) Zabalera handia aurkezten du adierazpide grafikoak adin ertaineko gizonezkoen
populazioan. Balio tipikoak kontutan hartuz, estatu gaztea dela antzeman
daiteke. Halaber, gizonezkoen inmigrazio-maila nabaria da.
1.5.
Histogramak:
Zentrurako joeraren neurriak ez dira oso desberdinak. Bi kasuetan Mo Me
daukagu, eskuinerantz asimetrikoak direlako. Sakabanatzearen neurri txikiagoak
ditu E.F. ikastetxeak M.E. ikastetxeak baino. Adibide honetan, desbidazio tipikoak
konparagarriak dira, batezbesteko aritmetikoak berdintsuak direlako.
Halaber, histogramak ikusirik, E.F. banaketaren sakabanatzearen estatistikoak
M.E. banaketarenak baino txikiagoak izango zirela aurresan genezakeen ikastetxe
honetan, batezbestekoaren inguruan ikasle gehiago daudela argi ikusten baita.
x
M.E.
E. F
21,5 20 4,93 % 21
22,25 20,465 3,41 % 15
21
21
23
22,6
x Me Mo Sx g0 R
250 250
17 20 26 38 17 20 26 38
- -
M.E. E.F.
Banaketa
Emakumezkoena
Gizonezkoena
21,67 297,9 17,26 % 80
24,27 271,9 16,49 % 68
x Sx
2
Sx g0
16 ____________________________________________________________________________
1.6.
1)
2) = 4,525 puntu
Mo = 4,5 puntu
Me = 4,5 puntu
S2 = 4,65 puntu2
go = 0,48
3) Zentrurako joeraren hiru neurriak berdintsuak dira, asimetria txikia duten
banaketetan gertatzen den bezala.
Sakabanatzea, batezbestekoarekin parekatuz, ez da handia; % 48koa da.
1.7.
1)
2) go = % 39,6 g1 = - 0,40 g2 = 1,43 - 3 = - 1,57
1 2 3 X
N
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
N
5
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 17
3) Aldakuntza-koefizienteak sakabanatze erlatiboa nahiko txikia dela esaten digu.
Bestalde, asimetri eta kurtosi-koefizienteek ezkerrerantz zertxobait asimetrikoa
eta nahiko zapala dela adierazten dute.
1.8.
1)
2) = 125,7 bizkaitar/urte Me = Mo = 0
q1= 0 q3 = 200
3) = 39.150 bizkaitar2
Sx = 197,8 bizkaitar
DMe = 125,7 bizkaitar
D = 142,4 bizkaitar
go = 1,5 = % 156
R = 1.000 bizkaitar
q3-q1 = 200 bizkaitar
Diagramak azaltzen duenez, neurri guztiek 126 bizkaitar/urte batezbesteko-
arekiko sakabanatze handia erakusten dute.
1.9.
= 18,45 mila pezeta (gastuen grabitate-zentrua)
Sx = 7,06 mila pezeta (gastu gehienak 11,39 - 25,51 tartekoak dira)
go = 0,38 (sakabanatze erlatiboa batezbestekoarekin konparatuz txikia da)
Mo = 20 + 5 (15/35) = 22,14 mila pezeta (gasturik errepikatuenak balio hau duela
estimatzen da).
x
x
Sx
2
x
400 1000 X
N
19
18 ____________________________________________________________________________
1.10.
Zabalera berdineko ondoko sei taldeak hartuz
Klaseak: ]1,30;1,40] ]1,40;1,50] ]1,50;1,60] ]1,60;1,70] ]1,70;1,80;] ]1,80;1,90]
Klase-ordezkariak: 1,35 1,45 1,55 1,65 1,75 1,85
Maiztasunak: 1 1 5 7 1 5
Informazioa galdu arren, ezaugarria jarraia izanik ariketa taldekatuz ebatzi dugu.
1.11.
1) Klaseak xi ni
80 x < 84 81,5 2
84 x < 88 85,5 8
88 x < 92 89,5 6
92 x < 96 93,5 4
2,3)
Beste sailkapen batez, emaitzak zertxobait desberdinak izango lirateke.
Taldekatu gabe ebatziz, emaitzak hauek dira:
= 88, Sx = 13,7. Logikoa denez, taldekatuta sakabanatzea txikitu egiten da.
Horri "taldekatze-ondorioa" deritzogu. g1 ez da eskatzen, baina, estatistiko honi
x
Zentrurako joeraren estatistikoak Sakabanatzearen estatistikoak
x = 87,9 puntu Sx
2
= 13,42 puntu2
Me = 88 " Sx = 3,66 puntu
Mo = 87 " go = % 4,16
80 84 88 92 96
x = 1,65 Mo = 1,617 Me = 1,64
Sx
2
= 0,0195 Sx = 0,139 R = 1,851,35= 0,50
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 19
dagokionez, lagin interesgarria da. Adierazpide grafikoak asimetria partzialak
erakusten dizkigu. Hala ere, ia konpentsatu egiten dira eta emaitza g1 = 0,09 da.
1.12.
1) Klaseak xi ni fi
( 0 ; 500 ) 250 6 0,3
( 500 ; 2.000 ) 1.250 7 0,35
(2.000 ; 4.000 ) 3.000 3 0,15
(4.000 ; 8.000 ) 6.000 2 0,10
(8.000 ; 12.000 ) 10.000 2 0,10
(Turkia eta Egipto hurrenez hurren eta gutxi gora-behera)
3) = 2.562,5 $ (Jugoslaviako balioaren antzekoa)
Sx = 2.992 $ go = 1,17
(Datuak taldekatu gabe ebatziz gero, 2.400 $, 3.189,4 $ eta 1,33 dira emaitzak)
4) Eskuin alderantz oso asimetrikoa dela ikusten da. Baita oso puntaduna ere
modaren altueraren arabera. Horren ondorioz, g1 eta g2 nahitaez positiboak
izango dira.
x
H
X0 4000 12000
2) Me = 500+1500
4
7
= 1.357$
Mo = 500
2,33
2,33+ 0
= 500$
20 ____________________________________________________________________________
1.13.
1) = 6,83 7 urte Me = 7 urte Mo = 7 urte
2) Klaseak xi ni Ni
[6 - 7) 6,5 35 35
[7 - 8) 7,5 49 84
[8 - 9) 8,5 14 98
[9 - 10) 9,5 2 100
= 7,33 urte Me = 7,30 urte Mo = 7,28 urte
3) Aldagaia diskretua bezala kontsideratuta, hurbilketa-errorea daukagu. Ikasleen
urteak beteberriak balira bezala hartzen ditugu eta balio tipikoen emaitzak
benetakoak baino txikiagoak ditugu.
Aldagaia jarraia denez, klase-ordezkariak kontsideratuta grabitate-zentrua 0,5
eskuinerantz desplazatzen da, aldagaiaren balioak 0,5 handiagoak baitira.
1.14.
go = 0,4 (% 40) g1 = -5
Banaketa honen grabitate-zentrua, 10 balioan dago ( = 10). Sakabanatzea Sx = 4
da absolutuki neurturik, hots, balio gehienak (6,14) tartean daude. Erlatiboki
neurturik (batezbestekoarekiko) sakabanatzea %40koa da. Ezin esan ordea, handia
denik. Asimetria, azkenik, ezker alderantz nabaria da; asimetri koefizientea g1 = -5
baita.
1.15.
2) = 2,64 Sx = 0,9715 a2 = 7,9286
a3 = 25,7867 a4 = 88,5 m4 = 1,8098
g2 = 2,0317 - 3 = -0,968
Ikusten denez, banaketa honen kurtosia banaketa normalarena baino txikiagoa
da, hots, zertxobait zapala da.
1.16.
1) Sx
2
= 9 Sx = 3 g1 =
-905
27
= -33,514 g2 =
243
81
= 3
x
x
x
x
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 21
Ezkerrerantz argiro asimetrikoa eta kurtosiaren aldetik normala denez, banaketa
honen soslaia gutxi gora-behera, ondokoa izango da:
1.17.
1.18.
ai = 80, bi = 98 puntuak ezin ditugu parekatu, banaketa desberdinetako balioak
baitira.
Hots, bi balioak zentratu ondoren eta beren desbidazio tipikoekiko neurtuz,
konparagarriak dira.
Hau da, balio tipifikatuak parekatuz dakusagunez, posturik onena, B asignaturan
atera du.
1.19.
Jolasaldi, atsedenaldi eta aisialdiko kontsumo-maila altuagoa dauka familia horrek
bere ohiko bizitzan. Horregatik, postu hobean dago bere auzoan oporrak igarotzen
dituen tokian baino.
Txi
=
20.000-15.500
3.500
=1,285 > Tyi
=
50.000- 42.000
7.500
=1,066
ta i
=
80 - 75
10
= 0,50 < tbi
=
98- 90
15
= 0,53
1) Sx
2
= 9 Sx = 30 go(x) = 0,75
2) y = 300 Sy
2
= 22.500 Sy = 150 g0(y) = 0,50
3
22 ____________________________________________________________________________
1.20.
1) xi ni Ni fi
40.000 4 4 0,16
80.000 10 14 0,40
120.000 6 20 0,24
200.000 4 24 0,16
320.000 1 25 0,04
2)
3) = 112.000 pta
Mo = Me = 80.000 pta
q1 = 80.000 pta
q3 = 120.000 pta
min(x) = 40.000 pta
max(x) = 320.000 pta
4) = 4.224.106
Sx = 64.992 pta
go = 0,58
R = 280.000 pta
q3 - q1 = 40.000 pta
5) Diagramako eskuin aldean adar bat ikusten da. Horregatik susmatzen dugu g1
positiboa izango dela (kalkulatzean + 1,625 lortzen da).
Sx
2
x
40 80 120 200 320
5
N
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 23
Soslai zorrotza ere ikusten dugu (moda-mediana nola nabaritzen den, eskuineko
adarra nola estutzen eta hedatzen den). Horregatik, g2 ere positiboa izango dela
kontsideratzen dugu (+2 lortzen da).
6) zi ti
-72.000 -1,1078
-32.000 -0,4923
8.000 0,1230
88.000 1,3540
208.000 3,2003
7) Pi Qi
16 5
56 34
80 60
96 88
100 100
IG = 1 - 187/248 = 0,246
Kontzentrazio-mailaren adierazle biek, hileroko ordainketa nahiko
uniformekoki banatuta dagoela ikustarazten digute.
Q
i
Pi
24 ____________________________________________________________________________
1.21.
1)
Desbidazio tipikoa batezbestekoa baino txikiagoa denez, batezbestekoa
errepresentagarria dela esan dezakegu, beronen aldakortasuna ez baita oso
handia.
3) Mo = 190.000 pta alderantzizko banaketa proportzionalaren irizpideaz,
Mo = 160.000 pta altueren alderaketaren irizpideaz.
4) Me = 150.000 pta.
5) Aldagai jarraiaren banaketa daukagu non batezbesteko aritmetikoa
errepresentagarria den, modabakarrekoa eta sakabanatze handirik gabekoa.
1.22.
1)
x
ni
1
1
2
3
Xix2 x3 x4 x5
2) x = 150.500 pta.
go
(x) =
Sx
x
=
25.256
150.500
= 0,1678
Sx
2
= 6,378710
8
pta
2
100.000 150.000 190.000 210.000
X
0,5
hi
i
1
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 25
3) Rx = 8
Sx = 2,33
4) ui = xi x1 bada, ui = {0,2,4,6,8}
1.23.
1) Posiziozko 3 estatistiko:
= 2,95 seme
Me = 3 seme
Mo = 4 seme
Sakabanatzearen 3 estatistiko:
Sx
2
= 1,747 (seme)2
Sx = 1,32 seme (sakabanatzea, aldagaien unitatetan neurturik)
go(x) =
Sx
x
= 0,45 (sakabanatzea, erlatiboki batezbestekoarekiko
neurturik, eta unitateekiko independentea)
x
x = u + x1
Me(x) = Me(u) + x1
Mo(x) = Mo(u) + x1
Sx = Su
Rx = Ru
xi - xi-1 = 2 i
x1
x2 = x1 + 2
x3 = x2 + 2 = x1 + 4
x4 = x3 + 2 = x1 + 6
x5 = x4 + 2 = x1 + 8
2) x = x1 + 3,75
Me = x3 = x1 + 4
Mo = x3 = x1 + 4
26 ____________________________________________________________________________
Estatistiko hauek x1 balioaren menpe daude,
lekuzkoak baitira eta traslazioekin aldatu
egiten dira
Baina bi estatistiko hauek sakabanatzearen
balio tipikoak dira eta leku aldatzeek ez
dute eraginik beraiengan
2) IG = 0,29
Gini-ren indizeak nahiz Lorenz-en kurbak, uniformetasun-maila nahiko handia
dela, adierazten digute.
1.24.
1)
2) = 1,695 m
Me = 1,70 m
Mo = 1,714 m
3) Sx = 0,101 m
go(x) = 0,059
4) ui = (xi 1,65) . 10
x
hi
400
Xi
300
200
50
1,50 1,60 1,70 1,80 2,00
Qi
Pi
82,87
42,2
16,8
3,3
0
5 15 35 60 90
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 27
5)
Ibon altuagoa da bere kolektiboarekiko, anaien altuerak eskala berdinean
jartzen baldin baditugu tipifikatuz, Ibon-en balioa Ruben-ena baino handiagoa
baita.
1.25.
1) = 5,5 Banaketa simetrikoa bada, f2 = f3 eta gainera maiztasun erlatibo
guztien batura 1 denez, berauen balioak kalkula ditzakegu eta
ondorioz batezbesteko aritmetikoa.
2)
f1 = f4 = 0,2
f2 = f3 = 0,3
3)
y =
x - 4
3
y = 0,5
Sy
2
= 1,05
go(y) = 2,049
fi
0,3
0,2
1 4 7 10
xi
x
Ruben x tx =
1,73- 1,695
0,10
= 0,345 < ty =
1,70 -1,60
0,15
= 0,66
Ibon y
28 ____________________________________________________________________________
1.26.
1)
3)
4) Pi Qi
20 6,6
70 40
90 66,6
100 100
IG =
66,8
180
= 0,37
66,6
40
6,6
Pi
Qi
20 70 90
2) go =
126.491
150.000
= 0,84
50 100 200 500 X
N
40
100
40
20
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 29
1.27.
1) Pi Qi
50 16
90 67
100 100
IG = 0,4
2) Bi ebazpide kontsideratuko ditugu:
a) "Sarrerak guztira" aurrenekoak izanik, hau da,
IG = 0,4 x = 1,86
y = 14,26
b) "Sarrerak guztira" 9x + y izanik
IG = 0,4 x = 0,13 y edota y = 7,67 x
Noski, kasu honetan, soluzioa mugatu gabe geratzen da.
9x+y
X
Y
9
1
9x
y
9
10
9x
9x+y
90
100
900x
9x+ y
100
ni xini Ni Mi Pi Qi
X
Y
9
1
9x
31 - 9x
9
10
90
100
9x
31
900x / 31
100
ni xini Ni Mi Pi Qi
M = xini
i
= 31
30 ____________________________________________________________________________
1.28.
1)
Kontzentrazio sakona (akziodun batek ehun akziodunek adina akzio ditu:
Akziodun kopuruaren datua ez da nahikoa, elkarte anonimoa "herrikoia" dela
ziurtatzeko...).
1.29.
1) Q
70
45
15
60 84 94 P
i
i
2) IG =
104,9
264,9
= 0,396
60
20
80
69,0 96,6
99,3
Q
Pi
i
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 31
2) Pi Qi Pi - Qi
60 15 45
84 45 39
94 70 24
100 100
IG = 108/238 = 0,45
1.30.
1)
2) Pi Qi (Pi - Qi)
16 3 13
50 22 28
83 62 21
100 100
1.31.
1)
50 150 1000 X
N
300
0,58
IG =
62
149
= 0,41
Qi
62
22
3
16 50 83 Pi
32 ____________________________________________________________________________
2) Pi Qi Pi - Qi
30 8,25 21,75
90 63,3 26,7
100 100
3)
Histogramak probintzi produkzioen banaketa nahiko sakabanatua dela
adierazten du. Horrek Estatuko produkzio totala probintzia batzuetan nahiko
kontzentratua dagoela esan nahi du, Lorenz-en kurbak eta Gini-ren indizeak ere
adierazten dutenez.
1.32.
1)
50 150 300 500
X
H
4
3
1
0,5
IG =
48,45
149120
= 0,404
Q
i
30 90 P
i
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 33
2) Mo = 50 + (3/4) 100 = 125
3)
4)
5) Histograman ikusten denez, familia gehienak ez dira batabestearekiko oso
desberdinak.
Horregatik, Gini-ren indizeak banaketa nahiko uniformea dela adierazten digu.
1.33.
1) Mboene Boe - Buba
Pi Qi Pi Qi
50 5 40 10
90 60 90 40
100 100 100 100
IG = 0,536 IG = 0,616
Boe-Buba
M
boene
IG =
38,6
140
= 0,27
78,1
22,6
0,7
90455
Qi
iP
34 ____________________________________________________________________________
Kontzentrazioa, bi enpresetan, oso handia da, Boe-Buban-en zerbait handiagoa
izanik.
Kontzentrazioaren zehaztasuna Lorenz-en kurbak Gini-ren indizeak (multzo-
-neurri bakarrak) baino hobeto jasotzen du:
Mboenen erdiko klasea goi-mailakoari gehiago hurreratzen zaio, baina Boe-
-Buba baino gehiago urrutiratzen zaio behe-mailakoari.
1.34.
1) Klaseak Familiak pi Errenta qi Pi Qi Pi Qi
(milaka pta) (milioika) % % % % % %
0 ; 50 10 - 8 = 2 20 100 -95 = 5 20 5 15
50 ; 100 8 - 4 = 4 40 95 -75 = 20 60 25 35
100 ; 200 4 - 2 = 2 20 75 - 55 = 20 80 45 35
200 ; 2 20 55
_______ ___ ___ ___ ___ ___
10 100 100 160 75 85
Nahiz eta Estatuari dagokion indizea izan, altua da, hots, Estatu honetan famili
errenta nahiko kontzentratuta dago. Datuak, biribilduak, 1.982koak dira eta
Espainiako iturri "fidagarri" batzuetatik hartu dira.
Ohar gaitezen maila markak ariketa honetan ez direla beharrezkoak, errentaren
portzentaiak adierazburuak ematen baitizkigu.
100
45
25
5
100806020
2) IG =
80
160
= 1-
75
160
= 0,53
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 35
1.35.
1)
2) IG(A) = 0,2 IG (B) = 0,08
3) Alokairuen batezbestekoa txikiagoa da A enpresan B enpresan baino. Alderan-
tziz gertatzen da desbidazio tipikoarekin. Horregatik, aldakuntza-koefizienteak
%45,41 eta %16,46 dira hurrenez hurren.
Ohar daiteke aldagaiaren ibiltartea A enpresan B enpresan baino handiagoa
dela. Giniren indizeak aurreneko emaitzekin ados daude. A enpresa nahiko
uniformea da alokairuen arabera eta B enpresa ia guztiz uniformea da.
1.36.
1) Langile kopuru desberdina duten bi enpresa grafikoki parekatzeko, maiztasun
erlatiboak erabili behar dira.
Aurkezpen grafikorik egokiena histograma da eta taldeak zabalera desberdine-
koak direnez, altuerak kalkulatu behar dira.
Bi enpresetako alokairuak 4 taldetan sailkatuta daude, baina taldeak desberdi-
nak izateaz gain, zabalera desberdinekoak dira. Lehen enpresako histogramaren
perfila zorrotzagoa da eta asimetria positiboa adierazten du. Bigarren
enpresaren histograma, berriz, zapalagoa da.
hi
20
X1i
4,73
10
1,32
80 100 130 175 225
hi
X2i
3,2
5
1,32
80 150 250 300 350
4.675 4.500 2.122,94 45,41
6.900 7.000 1.135,78 16,46
A
B
x (pta.) Me (pta.) S (pta.) g (%)x o
36 ____________________________________________________________________________
3) IG(1) = 0,121
IG(2) = 0,169
4) 2. enpresan batezbesteko alokairua handiagoa da eta alokairuen banaketan
sakabanatze handiagoa du.
Uniformetasunari dagokionez, Gini-ren indizea txikiagoa denez 1. enpresan,
alokairuen banaketa zuzenagoa da 2. enpresan baino. Lorenz-en kurbak
aztertuz, ondorio berdinera iritsiko ginateke.
1.37.
Bariantzak, desbidazio tipikoak eta aldakuntza-koefizienteak sakabanatzea
adierazten dute batezbesteko aritmetikoarekiko ( = 99.000 pta).
Aldakuntza-koefizientea 1 baino txikiagoa denez, sakabanatze handia ez
dagoela esan dezakegu eta, beraz, batezbesteko alokairua nahiko errepresen-
tagarria izango da.
x
1) Sx
2
= 5499(103
pta)2
Sx = 74,15 (103
pta)
go(x) = 0,749
93,340
Qi
iP
72
2) x1 = 118,6
)
6 (103
pta) go(x1) < go(x2 ) 1. enpresaren
x2 =190,3
)
3 (103
pta) batezbestekoalokairua
Sx1
2
= 1018,38 (103
pta)2
errepresentagarriagoada
Sx2
2
= 5038,35 (103
pta)2
2. enpresakoa baino.
go(x1) =
Sx1
x1
= 0'2689
go(x2) =
Sx2
x2
= 0'3729
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 37
2) IG = 0,17 0-tik hurbil dagoenez, Gini-ren koefizienteak, alokairu-masa nahiko
ongi banatuta dagoela esaten digu.
3) Hobekien ordaindutako lankideetako %5ak nominan % 18,2a jasotzen du.
1.38.
1) IGA
= 0,2957
IGB
= 0,3363
Aldagai estatistiko jarraietan, klase zabalera bat edo bestea hartzeak multzoko
neurrietan era batera edo bestera eragingo du, beti ere, datuen aldaketa bat
suposatzen baitu. Kasu honetan zabalerak berdinak dira eta emaitzen
desberdintasuna banaketan desberdintasunaren ondorioa da.
3)
3) Uniformetasun desberdina dituzten bi kolektibo batera hartuz, tarteko
uniformetasuna lortuko genuke. hau da: IGA
< IGA+B
< IGB
BESTE ADIERAZBURU BATZUK
1. Urbanizazio baten erroldatik balio hauek atera ditugu:
10 urte baino gutxiagokoak: 500 emakumezko eta 500 gizonezko
10 urtetik 30 urtera artekoak: 700 emakumezko eta 800 gizonezko
30 urtetik 50 urtera artekoak: 500 emakumezko eta 500 gizonezko
50 urtetik 80 urtera artekoak: 300 emakumezko eta 299 gizonezko
Honakoa eskatzen da:
1) Histogramak edo populazio-piramidea.
2) Batezbesteko aritmetikoa eta desbidazioa tipikoa gizonezko, emakumezko
eta populazio totalarekiko, hurrenez hurren.
0
Qi
iP
100
A
B
38 ____________________________________________________________________________
Maiztasun banaketetan bezala, kontzentrazioa-indibiduoak
balio posibletan nola banatzen denaren menpe dago.
Bi banaketak antzekoak dira
kontzentrazioari dagokionez, hala
ere, B herrian errentaren kontzen-
trazio handiagoa dago.
2. Normal jaiotako 20 haurren pisua neurtu da eta emaitzak hauek dira.
Pisua (kilotan) Haur kopurua
2'15 - 2'55 1
2'55 - 2'95 3
2'95 - 3'35 9
3'35 - 3'75 5
3'75 - 4'15 1
4'15 - 4'55 1
Honakoa eskatzen da:
1) Banaketaren adierazpide grafikoa.
2) Batezbestekoa, moda, mediana, eta asimetriaren iritzia, grafika eta , Me,
Mo-ren posizioa ikusirik.
3. Ondoko taulan 500 familiren senide kopuruaren araberako banaketa daukagu.
Senide kopurua Famili kopurua
0 - 2 110
2 - 3 100
3 - 6 190
6 - 10 100
Honakoa eskatzen da:
1) Familien batezbesteko senide kopurua.
2) Zein da maiztasun handieneko senide kopurua?
3) Familien %50 aparkalekuak dauzkagula eta hauek senide kopuru handiena
daukatenei ematen zaizkiela suposaturik, aparkalekua lortzeko zenbateko
senide kopurua eduki behar da?
4) Kalkula itzazu aldakuntza-koefizientea eta desbidazio tipikoa, lortutako
emaitzak komentatuz.
4. A multzoan indibiduoen erdiak automobil bat du eta beste erdiak ez du
automobilik.
B multzoan laurdenak bina automobil dauka eta gainerakoak ez dauka
automobilik.
Honakoa eskatzen da:
Pareka itzazu, grafiko eta estatistiko egokienen bidez, banaketa horien zen-
tzurako joeraren, sakabanatzearen, asimetriaren eta (ikaslea animatuko balitz)
kurtosiaren ezaugarriak.
x
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 39
5. Hiri bateko familiek dituzten elikadura-gastuak ikertu nahian 1.000 familia
lagindu dugu.
Ondoko banaketan, lagindutako familien erantzunak bilduta izanik:
Gastua (milaka pta) Famili kopurua
( 0 , 20) 100
(20 , 40) 300
(40 , 80) 500
(80 , 130) 100
Honakoa eskatzen da:
1) Histograma.
2) Aldagai zentratuaren eta tipifikatuaren balioak.
3) Aldagai zentratuaren, tipifikatuaren eta jatorrizko aldagaiaren desbidazio
tipikoak.
4) Aldagai zentratuaren eta jatorrizko aldagaiaren aldakuntza-koefizienteak.
5) Komenta itzazu eskatutako balioen berezitasunak.
Oharra: klase-ordezkaritzat erdiko puntuak hartu behar dira.
6. X aldagaiaren ondoko momentu arruntak jakinik:
a1 = 0 a2 = 2,4 a3 = 3,6
Lor ezazu:
1) X aldagaiaren asimetri koefizientea.
2) Z aldagaiaren aldakuntza-koefizientea, Z aldagaia X aldagaiaren ondoko
konbinazio lineala izanik.
Z = 5 - 3X
7. Ondoan X aldagai jarraiaren maiztasun erlatiboen banaketa daukagu:
X fi
[0;100) 0,2
[100;300) f2
[300;400) f3
Honakoa eskatzen da:
1) f2, f3 balioak = 215 izan dadin.
2) " " " Me = 215 " "
3) " " " g1(x) = 0 " "
x
40 ____________________________________________________________________________
8. Ondoko banaketa emanik:
X fi
(-1,5; -0,5) 8
(-0,5; 0,5) 74
(0,5 ; 1,5) n3
(1,5 ; 2,5) n4
Honakoa eskatzen da:
n3, n4 maiztasunak aldi berean Mo(x) =0 eta = 0,2 izateko baldintzaz.
9. Ondoko taulan, 1.982an 24 estatutan produzitutako tomatea daukagu.
Xi (milaka tonatan)
( 0 - 100 ) 4
( 100 - 500 ) 6
( 500 - 2.000 ) 7
(2.000 - 5.000 ) 5
(5.000 - 7.0000 ) 2
Honakoa eskatzen da:
1) Histograma, eta asimetriari buruz grafikoan ikusten duzunaz komentarioa.
2) Batezbesteko aritmetrikoa, moda eta mediana.
3) Bariantza eta batezbesteko desbidazioa.
4) Lortutako emaitzen komentarioa.
10. Lor ezazu momentu zentralen eta momentu arrunten arteko erlazioa
(adierazpen orokorra edo laugarren ordenako momentuei dagokiona lor
daiteke).
Ondoko momentuak emanik:
a1 = 3, 83 a3 = 79, 70 a2 = 24,46 a4 = 400, 2153
Lor itzazu asimetri eta kurtosi koefizienteak. Komenta itzazu lortutako
emaitzak.
11. Ondoko taulan, UBI amaitu duten 50 emakumezko eta 50 gizonezkoen
batezbesteko puntuazioen banaketa daukagu:
Btb. Puntuazioa Gizonezkoak Emakumezkoak
[5, 5.8) 23 13
[5.8, 6.5) 12 17
[6.5, 7.5) 8 8
[7.5, 8.5) 4 10
[8.5, 10) 3 2
x
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 41
1) Eraiki itzazu dagokien aurkezpen grafikoak.
2) Lor itzazu batezbesteko aritmetikoa, bariantza, eta aldakuntza-koefizientea
banaketa bakoitzarentzat. Komenta itzazu lortutako emaitzak.
3) Zein da batezbesteko puntuaziorik maizena (maiztasun handiena duena)
emakumezkoen artean?
4) Unibertsitate eskola batean plaza edukitzeko 6,8-ko batezbesteko
puntuazioa behar dela dakigu. Kolektibo horretatik, emakumezko gehiagok
edo gizonezko gehiagok edukiko dute plaza? Zergatik?
12. Ondoko 1. eta 2. tauletan, hurrenez hurren munduko 100 enpresa handienak eta
Espainiako 100 enpresa handienak ditugu salmenten arabera sailkatuta:
1.TAULA 2.TAULA
Salmentak klase- Enpresa Salmentak klase- Enpresa
109 $-tan -ordezkaria kopurua 109 pta-tan -ordezkaria kopurua
________ _________ _______ _________ _________ _______
25 40 24 60 200 26
25 > x 15 20 25 60 > y 40 50 23
15 > x 12 13,5 19 40 > y 30 35 21
12 > x 9 10,5 32 30 > y 24 27 30
Honakoa eskatzen da:
1) Pareka ezazu, Lorenz-en kurben eta Gini-ren indizeen bidez, bi banaketetan
ikusten du salmenten kontzentrazio-maila erlatiboa.
2) Komenta itzazu, laburki, lortutako emaitzak.
Munduko estatu-talde baterako edo estatu bakar baterako daukagun
kontzentrazio-maila erlatiboa berdintsua izango al da?
13. Ondoko taulan, urte bakoitzean herrialde batek azken 20 urteetan izan dituen
euri-egunak ditugu.
125 200 115 135 108 150 95 98 140 85
115 175 140 97 180 65 170 150 110 143
Honakoa eskatzen da:
1) Taldeka itzazu datuak [50;100), [100; 125), [125; 150), [150; 200) taldeetan
eta aurkez ezazu, grafikoki, datu taldekatu hauen banaketa.
2) Azter ezazu urte desberdinetako totalaren kontzentrazioa, Lorenz-en kurba
eta Gini-ren indizearen bidez.
3) Komenta ezazu, laburki, 1) ataleko grafikoak eta 2) ataleko adierazleek
banaketa honi buruz ematen diguten informazioa.
42 ____________________________________________________________________________
14. Famili aurrekontuen inkestaren arabera, herri bateko familiak honela banatzen
dira:
Sarrera-tarteak Klase-ordezkaria Familien ehunekoa
0 x < 10 6 %50
10 x < 30 20 %40
30 x 200 90 %10
Honakoa eskatzen da:
1) Banaketaren histograma.
2) Medianaren estimazioa eta interkuartil-ibiltartea.
3) Gini-ren indizea.
4) Komenta itzazu sarrera-banaketaren ezaugarriak.
15. Udondoko BILMA enpresaren nomina-zerrendan zortzi milioi pezeta honela
banatzen dira:
500.000 pta guztira 5 administrari
1.600.000 " " 20 espezialista
400.000 " " gerentearen soldata
800.000 " " 4 zerbitzu-zuzendari
800.000 " " 5 lantegi-maisu
1.400.000 " " lehen mailako 10 ofizial
2.000.000 " " bigarren mailako 20 ofizial
500.000 " " 10 peoi
(maila berdina daukatenek berdin irabaziz)
Honakoa eskatzen da:
1) Aurkez ezazu Lorenz-en kurbaren bidez, enpresa honen soldaten
kontzentrazioa.
2) Berari dagokion Gini-ren indizea.
3) Komenta itzazu 1) eta 2) ataletan lortutako emaitzak.
Oharra: ahal den zero gutxien erabiliz lan egitea komeni da.
16. Hotel batek 5 gela-mota ditu. Ondoko taulan, gela bakoitzaren prezioa eta
guztiz beteta dagoen egun batean lortutako sarrera totalak ditugu:
mota prezioa sarrera totalak
1. 300 24.000
2. 500 20.000
3. 750 30.000
4. 1.000 20.000
5. x 26.000
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 43
Honakoa eskatzen da:
1) Zein izango litzateke x (gela garestienaren prezioa) gelen batezbesteko
prezioa 600 pezetakoa izan dadin?
2) Zein izango litzateke x (gela garestienaren prezioa), sarrera totalen
kontzentrazioa neurtzen duen Gini-ren indizea 0,272 izan dadin?
17. TAMEC enpresako 50 langileen alokairuak honela banatzen dira:
30 espezialista .............................................. 100.000 pta/espezialista
Lehen mailako 10 ofizial .............................. 200.000 pta/ofizial
10 lantegimaisu ........................................... 300.000 pta/maisu
Kalkula itzazu:
1) Zenbatekoa izan beharko luke lantegimaisuen alokairuak, beste bi
kategoriakoenak mantenduz, alokairuen desbidazio tipikoa bikoizteko?
2) Zenbatekoa izan beharko luke lantegimaisuen alokairuak, beste bi
kategoriakoenak mantenduz, alokairu totalen kontzentrazio-maila
bikoizteko?
18. Ondoko banaketa, enpresa bateko hileroko sarrerei dagokio:
Maila Sarrerak (103 ptatan) Langile kopurua
I 100 60
II 200 30
III 400 10
Akordio baten bidez, aurrerantzean soldaten igoerak linealak (hau da, maila
guztientzako igoera berdinak) izango direla erabaki dute.
a) Zenbat igo beharko dute soldatak, banaketaren aldakuntza-koefizientea
erdira jaitsi dadin?
b) Eta zenbat, soldata totalen Gini-ren kontzentrazio-koefizientea erdira jaitsi
dadin?
19. Aitona batek daukan dirua, 25 milioi hain zuzen, bere 10 iloben artean, jarraian
azaltzen den bezala, banatzea erabaki du: dirutza horren %30a iloben %20aren
artean, %15a iloben %30aren artean, %25a iloben %10aren artean eta beste
%30a beste gainontzekoen artean (talde bakoitzeko iloba guztiek berdin
jasotzen dute).
1) Kalkula itzazu, jasotako batezbesteko balioa eta iloben kopuru handienak
jaso duen balioa.
2) Azter ezazu banaketa honen sakabanatzea.
44 ____________________________________________________________________________
3) Azter ezazu, grafikoki nahiz numerikoki, masa totalaren banaketak daukan
kontzentrazio-maila.
4) Komenta itzazu lortutako emaitzak.
20. Maiztasunaz bat daukaten X1,X2,...Xn balio-multzoa daukagu.
1) Kalkula eta komenta ezazu (IG) Gini-ren indizearen balioa X1 = X2 = ... =
= Xn = c denean.
2) Kalkula eta komenta ezazu (IG) Gini-ren indizearen balioa X1 = X2 = ... =
Xn-1 = 0 eta Xn = c denean.
3) Aldatuko litzateke balioa X1 = ... = Xi1 = Xi+1 = ... = Xn = 0 eta Xi = c
balira? Zergatik?
21. Komunitate autonomo bateko 20 eskualdeek duten telefono-lerroen kopuruak
ezagutzen dira 1989. urterako. Datu hauen arabera, eskualdeen % 40ak, 10
mila lerro baino gutxiago ditu eta % 45ak 10 milatik 50 milara tartean.
1) Zenbat eskualdek daukate 50 milatik 150 milara lerro eta 150 milatik 350
milara, telefono-lerroen kopuru totala 760 mila dela jakinik? (kopurua tarte
bakoitzaren erdiko puntua klase-ordezkaritzat hartuz lortu da eta ez dago
350 baino lerro gehiago duen eskualderik).
2) Azal ezazu Gini-ren indizea eta Lorenz-en kurbaren bidez, komunitatearen
telefono-lerroen totala eskualdeka uniformeki banatuta dagoen ala ez.
Ezaugarri estatistiko bakunak __________________________________________________ 45
2. EZAUGARRI ESTATISTIKO BIKOITZAK
ADIERAZBURUAK
2.1. Ondoko taula hau emanik:
Honakoa eskatzen da:
1) y = 4 baldintzatutako maiztasun erlatiboen banaketa.
2) X eta Y aldagaiek, maiztasun banaketa independentea al dute? Zergatik?
3) Koerlazio-matrizea.
2.2. Ondoko taulan X, Y aldagaien 1971-1980 urte tarteko balioak ditugu.
X: 1970. urtearekiko farmazi sektorearen inbertsioen koefiziente biderka-
tzailea.
Y: 1970. urtearekiko inbertsio-errendimenduen koefiziente biderkatzailea.
Y: 0,5 0,1 0,4 0,9 1,1 2,1 3,2 4,6 8,8 3,9
X: 2,0 3,8 2,5 2,6 3,1 2,2 1,2 1,3 2,6 6,8
Honakoa eskatzen da:
1) (X,Y) aldagai estatistiko bikoitzaren adierazpide grafikoa.
Grafikoa ikusirik, arrazona ezazu X, Y-ren artean zure ustetan dagoen
koerlazio-mailaz (sakona, ahula, ertaina, gutxi gora-behera zero....)
2) Lor ezazu koerlazio-koefiziente lineala eta komenta ezazu emaitza.
Y 2 4 6
X
1 10 0 60
3 20 5 10
5 10 70 15
Ezaugarri estatistiko bikoitzak __________________________________________________ 47
2.3. Euskal Herriko lau probintzi hauen kasuan, X aldagaiak populazio-igoera
ematen digu ehunekotan 1973-1976 tartean eta Y aldagaiak "per capita"
famili errentaren igoera urte-tarte berean.
X Y
ARABA 6 49
GIPUZKOA 2,5 46
NAFARROA 1 43
BIZKAIA 3,5 44
Honakoa eskatzen da:
1) Sakabanatze-diagrama edo puntu-hodeia.
2) X eta Y aldagaien batezbestekoak edo desbidazio tipikoak.
3) (X,Y) aldagaien kobariantza- eta koerlazio-koefizientea emaitzari irazkinak
edo komentarioak eginez.
2.4. Zein da koerlazio-koefizientearen balioa, ondoko maiztasun absolutuen taula
bakoitzerako?
Hiru taula hauetan x1 < x2 eta y1 < y2 dira.
2.5. Ondoko taulan, maiztasun-banaketa bat ematen da.
1) Lor itzazu bazter-banaketak eta banaketa-baldintzatu guztiak.
2) U, V aldagaiak honela ateratzen badituzu:
X = Ua + b , Y = Ve + f
zein da Sxy eta Suv kobariantzen arteko erlazioa?
3) Kalkula ezazu koerlazio-koefizientea, laburrena den kalkulua eginez.
1 2 3
0 4 10
5 9 1
9 2 0
10
11
12
X
Y
y y
0 1
1 0
1 2
Y
X
x
x
1
2
y y
3 0
0 2
1 2
Y
X
x
x
1
2
y y
1 2
2 4
1 2
Y
X
x
x
1
2
48 ____________________________________________________________________________
2.6. Populazio konkretu batean (X,Y) aldagai estatistiko bidimentsional baten
banaketari dagokionez, ondoko momentuak ezagutzen dira:
a10 = 5 a01 = 8 a20 = 27 a02 = 69 a11 = 43
Atera itzazu:
1) Banaketa honen batezbestekoak, bariantzak, kobariantza eta koerlazio
linealaren koefizientea.
2) Populazio horretarako baita ere, banaketaren (U,V) aldagaiaren batezbeste-
koak, bariantzak, kobariantza eta koerlazio linealaren koefizientea, aldagai
hori (X,Y) aldagaiarekin ondoko berdintasunen bidez erlazionatuta badago:
U = 10X + 10 V = 20Y - 10
2.7. (X,Y) aldagai bikoitzaren ondoko momentuak dauzkagu:
a10 = 4 a01 = -3 a20 = 20 a02 = 10 a11 = -11
Honakoa eskatzen da:
U = 100 - 10X , V = -5Y izanik.
2.8.
1) Lor ezazu independentziaren baldintza beharrezko eta nahikoa, X eta Y
aldagaien banaketazko independentziaren kontzeptutik abiatuz.
2) Ondoko taulan, O.I.T. erakundeak argitaraturik, 16 urte baino gehiago
duten langabetuen sailkapena sektore ekonomikoen arabera (X) eta (Y)
probintzien arabera daukagu, Euskal Autonomia Erkidegoa (zenbakiek,
1992ko ekaineko mila langabetu adierazten dute).
Nekazaritza
Industria
Eraikuntza
Zerbitzuak
1. enplegua bilatzen du
0 0.8 0.8
6 18.3 10.2
1.4 8 5.3
7.5 45.1 17.9
8 39.6 17.7
Araba Gipuzkoa BizkaiaY
X
1) Sx, Sxy, rxy estatistikoak.
2) (X + Y) aldagaiaren bariantza, hau da, Sx+y
2
.
3) Su
2
, Suv, ruv estatistikoak.
Ezaugarri estatistiko bikoitzak __________________________________________________ 49
* 1) Aurkez ezazu grafikoki 16 urte baino gehiago duten langabetuen
sailkapena probintzien eta sektore ekonomikoen arabera, hurrenez
hurren.
* 2) Pareka ezazu, komentarioak eginez, langabetuen banaketa sektoreen ara-
bera probintzi bakoitzerako. Bi aldagaien banaketa, kolektibo horretan,
independentziaren kasutik hurbil al dago? Arrazona ezazu erantzuna.
2.9. Ondoko taulan, E.A.E.ko irakasleak, sexuaren eta irakaskuntza-mailaren
arabera sailkatuta aurkezten dira (iturria: Irakaskuntzaren Estatistika 87-88,
EUSTAT):
Sexua
Maila Gizonezkoak Emakumezkoak
Eskolaurrea 202 2893
OHO 3714 9616
BBB eta UBI 2138 2678
Lanbide H 2468 1253
Eskatzen da:
1) Sexu aldagaiaren, irakaskuntza-maila aldagaiaren sail bakoitzari
baldintzatutako maiztasun erlatiboen banaketak.
2) Sexu aldagaiaren maiztasun erlatiboen banaketa. Irakasleen banaketa
irakaskuntza-mailaren arabera sexuarekiko independentea dela uste al
duzu? Arrazona ezazu erantzuna.
3) Azal itzazu, uste duzun balorazioak eginez, lortutako emaitzak.
2.10. Ondoko sarrera bikoitzeko taulak, "LOCSA" enpresaren 100 enplegatuen
banaketa, adinaren arabera (urtetan) eta hileroko alokairuaren arabera
(milaka pezetatan) biltzen du.
Alokairua/Adina 2530 3040 4050 5065
80125 11 5 2 0
125-225 5 8 12 4
225300 3 16 18 6
300400 0 4 3 3
Eskatzen da:
1) Kalkula itzazu, bi aldagaien bazter-banaketen batezbesteko aritmetikoa
eta bariantza (har ezazu tarte bakoitzaren erdiko puntua klase-ordezka-
ritzat).
2) Azter ezazu enpresa honen alokairu-banaketaren kontzentrazio-indizea.
Adinez nagusien direnen artean aztertzen baduzu, kontzentrazio-mailan
desberdintasunak sortzen al dira? Justifika ezazu erantzuna.
3) Komenta eta pareka itzazu, aurreko ataletan lortutako emaitzak.
50 ____________________________________________________________________________
2.11. Ondoko taulak, Estatuko 50 probintzien banaketa biltzen du bi aldagai hauen
arabera: itsasoarekiko kokapena eta guztirako produkzio garbia Km2-ko,
pezetatan, 1987 urterako.
Probintziak / G.P.G. 0-tik 25-era 25-etik 100-era 100-etik 700-era
Kostaldekoak 1 11 11
Barrualdekoak 18 8 1
Eskatzen da:
1) Pareka ezazu kostaldeko eta barrualdeko probintzien banaketa
G.P.G./Km2 aldagaiaren arabera.
a) Sektore grafikoen bidez.
b) Moda eta mediana estimatuen bidez bi azpimultzoetarako.
2) Azal ezazu datu horietan kokapena itsasoarekiko eta G.P.G. gutxi gora-
behera independenteki banatuta daudela kontsidera daitekeen ala ez.
2.12. Ondoko taulan, Arabako 51 udal, Bizkaiko 111 udal, Gipuzkoako 85 udal eta
E.A.E.ko guztiak sailkatuta agertzen dira biztanle kopuruaren arabera.
Biztanle kopurua (X) Araba Bizkaia Gipuzkoa E.A.E.
x < 500 %43,1 %20,2 %25,3 %26,72
x < 5000 %94,1 %72,5 %65,5 %74,5
x < 50000 %98 %94,5 %97,7 %96,4
x < 400000 %100 %100 %100 %100
Ikus dezakezunez, sailkapenak portzentai metatuetan daude adierazita.
1) Aurkez ezazu, grafikoki, E.A.E.ren udalen banaketa biztanleen arabera.
Grafiko honen aurrean, arrazona ezazu batezbestekoarekiko sakabana-
tze-mailari buruz. Kontrasta ezazu zure iritzia estatistiko egoki baten
bidez (oharra: erabil ezazu, beharrezkoa balitz, tartearen erdiko balioa
klase-ordezkaritzat).
Orain arte lortutako emaitzen bidez eta kalkulu gehiago egin gabe, zein
izango da uniformetasunaren maila banaketa honetan?
Biztanle kopuru txikiena daukaten udalen %50ari dirulaguntza ematea
pentsatu da polikiroldegia eraiki dezaten. Zein izango da udal handiena-
ren biztanle kopurua dirulaguntza jasotzen dutenen artean?
2) (X,Y) aldagai bikoitza kontsideratuz, non X=biztanle kopurua eta
Y=dagokion probintzia diren, azter ezazu bi aldagaien arteko indepen-
dentziaren hurbiltasuna taula honetan. Arrazona ezazu erantzuna eta
komenta itzazu lortutako emaitzak.
Ezaugarri estatistiko bikoitzak __________________________________________________ 51
2.13. Bi sarreretako ondoko taulak kolektibo baten indibiduoen banaketa biltzen
du, bakoitzak betetzen duen enplegua eta lortutako ikasketa mailaren
arabera:
Enplegua/Ikasketak Lehen mailako BBB Lanbide Goi-mailako
ikasketak UBI Heziketa ikasketak
Langile ez kualifikatuak 39 6 7 0
Langile kualifikatuak 7 9 17 8
Teknikariak 2 14 16 29
Goi-mailako koadroak 0 0 6 50
Eskatzen da:
1) Lor itzazu enpleguaren banaketaren eta ikasketa-mailaren banaketaren
adierazpide grafiko egokienak. Komenta itzazu lortutako grafikoak.
2) Zein izango lirateke enplegu modalak ikasketa-maila bakoitzean? Eta
ikasketa-maila modalak enplegu-mota bakoitzean?
3) Taularen datuak ikusirik, azter ezazu enplegua eta ikasketa-maila
aldagaien arteko banaketazko menpekotasun-maila. Komenta itzazu
lortutako emaitzak.
EBAZPIDEAK
2.1.
1) xi 1 3 5__________________________
fi/4 0 1/15 14/15
2) Ez. Ikusi daitekeenez, fi/4 lortutako banaketa eta fi. maiztasun erlatiboen bazter-
banaketa ez dira berdinak; ezta fi/4 edota fi/6 ere.
3)
1 -0,371
-0,371 1
Adibidez fi. =
70
200
35
200
95
200
52 ____________________________________________________________________________
2.2.
1)
Lehen begiratuan, erlazioa alderantzizkoa eta ahula dela antzematen da, baina
balioak denboran zehar ditugunez, marra batez puntuak lotzean, erlaziorik ez
dagoela argi ikusten da.
2) rxy = 0,0008 ~ 0
Ikusten denez, koerlazio gabeak direla esan daiteke.
2.3.
1)
0 1 2 3 4 5 6 7
42
44
46
48
50
X
Y
Y
X
10
7
Ezaugarri estatistiko bikoitzak __________________________________________________ 53
Bi aldagaien arteko erlazioa zuzena eta nahiko nabaria da.
2.4.
Lehenengoak malda positiboa duen zuzen baten gainean ditu puntuak, hots,
r = 1.
Bigarrenak, ordea, malda negatiboa duen zuzen baten gainean, hots, r = 1.
Hirugarrenak, azkenik, banaketa bikoitz independente bat aurkezten du, hots,
r = 0 independentziak koerlazio eza halabehartzen baitu.
2.5.
1) Bazter-banaketak:
Banaketa baldintzatuak:
2) Kasu honetan, X = U + 11, Y = V + 2 direnez Sxy = Suv daukagu, aldagaietan
jatorri-aldaketa bakarrik egin baitugu.
V -1 0 1
U
-1 0 4 10
0 5 9 1
-1 9 2 0
taularen bidez,
r = 0,7759xy
fi/1:0,
5
14
,
9
14
fj/10:0,
4
14
,
10
14
fi/2:
4
15
,
9
15
,
2
15
fj/11:
5
15
,
9
15
,
1
15
fi/3:
10
11
,
1
11
,0 fj/12:
9
11
,
2
11
,0
ni.: 14,15,11 fi.:
14
40
,
15
40
,
11
40
n.j: 14,15,11 f.j:
14
40
,
15
40
,
11
40
2) x = %3,25 Sx = %1,82
y = 45,5 Sy = 2,29
3) Sxy = 3,625 rxy = 0,86
54 ____________________________________________________________________________
2.6.
2.7.
2.8.
1)
x i
Eraikuntza: (% 7,8)
Industria (% 18,5)
Nekazaritza (% 0,857)
1. enplegua bilatzen du (% 34,9)
Zerbitzuak
(% 37,7)
y j Gipuzkoa ( % 60)
Araba (% 12,27)
Bizkaia (% 27,8)
1) Sx
2
= 4 Sxy =1 rxy = 0,50
2) S(x+y)
2
= 7
3) Su
2
= 400 Suv = 50 ruv = 0,5
1) x = 5 Sx
2
= 2 Sxy = 3
y = 8 Sy
2
= 5 rxy = 0,95
2) u = 60 Su
2
= 200 Suv = 600
v =150 Sv
2
= 2000 ruv = 0,95
Ezaugarri estatistiko bikoitzak __________________________________________________ 55
2) fi / j = Araba fi / j = Gipuzkoa fi / j = Bizkaia
0 0,0072 0,015
0,262 0,16 0,19
0,061 0,0715 0,10
0,327 0,40 0,345
0,349 0,35 0,341
Langabetuen banaketek sektoreen araberan, zenbait diferentzi dituzte probintzi
batetik bestera, baina hiru banaketek ezaugarri berdintsuak azaltzen dituzte, eta
hauek Euskadiko Autonomia Erkidego osoko banaketarekin bat egiten dute.
Horrela, langabetuen banaketa sektoreen arabera probintziaren araberakoaren
independente izatetik oso hurbil dago.
2.9.
1) yj/x = eskolaurrea fj/x = eskolaurrea yj/x = OHO yj/x = OHO
Gizonezkoak 0,065 Gizonezkoak 0,278
Emakumezkoak 0,93 Emakumezkoak 0,721
yj/x = BBB,UBI fj/x = BBB,UBI yj/x = L.H. yj/x = L.H.
Gizonezkoak 0,44 Gizonezkoak 0,663
Emakumezkoak 0,556 Emakumezkoak 0,337
2) yj f.j
Gizonezkoak 0,34
Emakumezkoak 0,658
3) Orokorrean, emakumezkoak diren irakasleen portzentaia (% 65,8) gizonezkoe-
na baino handiagoa da; baina maila desberdinak aztertuz, hori ez da beti horrela
ematen. Eskolaurrean, % 93a emakumezkoak da, Lanbide Heziketan, non
berezitasun teknikoak gehieEstatistikarako sarrera: Ariketak