ERREOLOGIA
Teoria eta praktika
ERREOLOGIA
Teoria eta praktika
Antxon Santamaria
Donostiako Kimika Falkultatea, Euskal Herriko Unibertsitatea
Elias Untzueta
Repsol, S.A.
Liburu hau Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailaren
laguntzaz argitaratu da
EUSKAL HERRIAN INPRIMATUA
PRINTED IN THE BASQUE COUNTRY
© Antxon Santamaria eta Elias Untzueta
© Edizio honetarako: Udako Euskal Unibertsitatea,
Concha Jenerala 25, 6. 48010 BILBO
ISBN: 84-86967-64-3
Lege-gordailua: BI-2734-94
Inprimategia: BOAN, S.A. Padre Larramendi 2 BILBO
Azala: Julio Pardo
Banatzaileak: UEU. Concha Jenerala 25, 6. BILBO
Zabaltzen: Igarabide 88. DONOSTIA
AURKIBIDEA
AURKIBIDEA ................................................................................................... 5
1. ERREOLOGIA ETA JOKAERA LISKAELASTIKOA ............................... 9
1.1. ERREOLOGIAREN HASIERAK ........................................................... 9
1.2. ERREOLOGIAREN GARAPENA. GAUR EGUNEKO EGOERA.......... 11
1.3. DENBORAREN ZENBAKIA .................................................................. 14
1.4. JOKAERA LISKAELASTIKOA ETA BESTEAK ................................. 15
1.5. DEFORMAZIOA, TENTSIOA ETA DENBORA:
EKUAZIO KONSTITUEGILEEK .......................................................... 19
1.6. MOZTE-FLUXU MONODIREKZIONALA; LISKATASUNA
ETA TENTSIO NORMALAK ................................................................. 22
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 23
2. JOKAERA LISKAELASTIKOA .................................................................. 29
2.1. PORTAERA LISKAELASTIKO LINEALA ............................................. 29
2.2. DENBORAREKIN LINEALKI ERLAZIONATUTA DAUDEN
SAIAKUNTZAK ...................................................................................... 33
2.2.1. Tentsio-lasaikuntza edo erlaxazioa ............................................. 33
2.2.2. Creep saiakuntza .......................................................................... 34
2.2.3. Berreskuratze liskaelastikoa ....................................................... 38
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 40
3. ERREOMETRIA. TEKNIKA ESPERIMENTALAK .................................. 41
3.1. ARAZOAREN PLANTEAMENDU OROKORRA .................................. 41
3.2. POISEUILLEREN FLUXUA. WEISSENBERG-MOONEY
EKUAZIOA ........................................................................................... 44
3.3. ZIRRITU-FLUXUA ETA NEURKETA LISKAELASTIKOAK ............... 48
3.4. MUTUR-EFEKTUAK. BAGLEY-REN ZUZENKETA ........................... 50
3.5. BISKOSIMETRIA BIRAKARIA ............................................................. 53
3.5.1. Zilindro ardazkideen sistema ...................................................... 53
3.5.2. Konoz eta xaflaz osaturiko sistema .............................................. 57
3.6. BESTE NEURKETA-MOTAK ................................................................. 59
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 63
Aurkibidea 5
4. LISKATASUNA ETA TENTSIO NORMALAK .......................................... 65
4.1. LISKATASUNA POLIMEROETAN......................................................... 65
4.1.1. Eredu enpirikoak ........................................................................ 67
4.2. POLIMEROEN PARAMETRO MOLEKULARREN
ERAGINA LISKATASUNEAN ................................................................ 67
4.3. LISKATASUNA DISOLUZIOETAN ....................................................... 71
4.4. TENTSIO NORMALAK ETA PARAMETRO MOLEKULARRAK .......... 74
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 78
5. LISKATASUNAREN TENPERATURAREKIKO MENPEKOTASUNA.... 81
5.1. SARRERA .............................................................................................. 81
5.2. GAINEZARTZE-METODOA ................................................................. 82
5.3. AKTIBAZIO-ENERGIA ETA PARAMETRO MOLEKULARRAK .......... 87
5.4. WILLIAMS/LANDEL/FERRYREN EKUAZIOA ETA BOLUMEN
ASKEAREN TEORIA ............................................................................ 90
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 95
6. NEURKETA ERREOLOGIKOAK EGOERA IRAGANKORREAN .......... 97
6.1. SARRERA .............................................................................................. 97
6.2. TIXOTROPIA ETA ERREOPEXIA ........................................................ 97
6.3. "OVERSHOOT" EFEKTUA .................................................................. 101
6.4. FLUXU HASIERAKO EGOERA IRAGANKORRA .............................. 106
6.5. FLUXU ONDORENGO PORTAERA IRAGANKORRA ......................... 109
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 112
7. PRESIOAREN ERAGINA LISKATASUNEAN ......................................... 113
7.1. SARRERA .............................................................................................. 113
7.2. LISKATASUN/PRESIO KOEFIZIENTEAREN ZEHAZTAPEN
ESPERIMENTALA ................................................................................ 113
7.3. EREDU TEORIKOAK ........................................................................... 118
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 124
8. JOKAERA LISKAELASTIKOA POLIMEROETAN ................................. 125
8.1. ADIBIDE MODURA HARTUTAKO SISTEMA
POLIMERIKOEN DESKRIPZIOA ........................................................ 125
8.2. FLUXU MOTELA EDO CREEP DELAKOA ........................................ 128
8.3. TENTSIO-LASAIKUNTZAZKO MODULUA ........................................ 132
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 133
6
9. NEURKETA DINAMIKOAK ...................................................................... 135
9.1. SARRERA ............................................................................................. 135
9.2. LASAIKUNTZA-MODULUAK: PILATZE-MODULUA,
GALTZE-MODULUA ETA MODULU KONPLEXUA ......................... 136
9.3. KONPLIANTZA-MODULUA: PILATZE-MODULUA, GALTZE-
-KONPLIANTZA ETA KONPLIANTZA KONPLEXUA ........................ 140
9.4. MODULU KONPLEXUAREN ETA KONPLIANTZA
KONPLEXUAREN ARTEKO ERLAZIOA ............................................. 141
9.5. LISKATASUN KONPLEXUA ................................................................. 141
9.6. NEURKETA DINAMIKOAK PRAKTIKAN ............................................ 142
9.6.1. Ebakitze sinplezko saiaketak ....................................................... 142
9.6.2. Kono- eta xafla-sistema .............................................................. 144
9.6.3. Trakzio- eta flexio-saiaketak ........................................................ 145
9.7. NEURKETA DINAMIKOEN APLIKAGARRITASUNA ......................... 145
9.7.1. Anplitudea aldagai bezala ........................................................... 145
9.7.2. Maiztasuna aldagai bezala ......................................................... 147
9.7.3. Liskatasun dinamikoaren neurketen aplikazioak ........................ 152
ERREFERENTZIAK ...................................................................................... 154
10. LISKATASUNAREN TEORIAK ................................................................ 155
10.1. SARRERA ........................................................................................... 155
10.2. FREE DRAINING DELAKO POLIMEROA ETA
BABESTE HIDRODINAMIKOA ........................................................ 156
10.3. BUECHEREN TEORIA ...................................................................... 163
10.4. KORAPILATZEAREN TEORIA ......................................................... 165
10.5. POLIMERO POLIDISPERTSOEN KASUA ....................................... 168
10.6. TUTUEN ETA NARRASKETAREN TEORIA ..................................... 170
ERREFERENTZIAK...................................................................................... 172
11. ERREOLOGIA ETA PROZESAKETA ..................................................... 175
11.1. ERREOLOGIA, PROZESAKETA, EGITURA ETA
PROPIETATEAK: BERAIEN ARTEKO ERLAZIOA ......................... 175
11.2. DEGRADAZIO TERMOMEKANIKOA ............................................. 176
ERREFERENTZIAK...................................................................................... 187
12. ZUNTZEN ERREOLOGIA ....................................................................... 189
12.1. SARRERA ........................................................................................... 189
12.2. FLUXU ESTENTSIONALAREN AZTERKETA ................................. 190
Aurkibidea 7
12.3. LUZATZE-LISKATASUNAREN DETERMINAZIO
ESPERIMENTALA ............................................................................. 193
12.4. PARAMETRO MOLEKULARREN ERAGINA ................................... 196
12.5. TIRATZE-ERRESONANTZIA ............................................................. 199
ERREFERENTZIAK...................................................................................... 202
13. NAHASTEEN ETA BI FASETAKO SISTEMEN ERREOLOGIA........... 203
13.1. POLIMERO-NAHASTEAK ................................................................. 203
13.1.1. Nahaskortasunaren araberako sailkapena ............................ 203
13.1.2. Morfologiaren araberako sailkapena .................................... 206
13.1.3. Nahastearen prestatze-bidearen araberako sailkapena ......... 206
13.2. LISKATASUN/KONPOSIZIO ERLAZIOAK POLIMERO
URTUETAN ........................................................................................ 208
13.2.1. Desbidazio positiboa .............................................................. 209
13.2.2. Desbidazio negatiboa ............................................................ 211
13.2.3. Pisu molekularren aditibitatea ............................................... 213
13.2.4. Bolumen askearen aditibitatea .............................................. 215
13.2.5. Desbidazio positibo-negatiboa .............................................. 218
13.3. NAHASTE METODOAREN ERAGINA MORFOLOGIAN ................. 220
13.3.1. Kautxu-nahasteak (8) ............................................................ 223
ERREFERENTZIAK...................................................................................... 225
A. ERANSKINA ................................................................................................. 229
B. ERANSKINA ................................................................................................. 233
8
1. ERREOLOGIA ETA JOKAERA LISKAELASTIKOA
1.1. ERREOLOGIAREN HASIERAK
Erreologia materiaren fluxua eta deformazioa aztertzen duen zientzia da. Hitz
hau Bingham-ek 1928. urtean asmatu zuen, Pennsylvaniako Eastongo Lafayette
College-an, likidoen eta solidoen tixotropia eta plastikotasunari buruzko batzar
batean hain zuzen. Fisikari, injineru eta kimikarien batzarleku izan zen hartan
koloideen eta gelatina, pintura, kola eta abarren fluxuaren hainbat arazo azaldu
ziren. Binghamek materiaren deformazioa eragin baten ondorioz, hau da,
materialen barneko erantzuna indar mekanikopean, aztertuko lukeen elkartea
sortzea proposatu zuen. Elkarte berriaren izena Society of Rheology (non rheos:
fluxua eta logos: ezagumendua diren) eta Heraklitoren esaera, "dena isurtzen da",
leitmotiv bezala hartu zuten.
1930. urtean Elkartearen aldizkariaren, Journal of Rheology-ren, lehen
zenbakia argitaratu zen. Bertan, tenperaturaren eta konposatu organikoen egitura
kimikoaren eragina liskatasunean aztertzen zuten hainbat lan aurkeztu ziren.
Reiner-ek (Deboraren zenbakia asmatzeagatik ezaguna) zilindro koaxialeko
biskosimetro batean tentsio-parearen eta zilindroaren jiratze-abiaduraren arteko
erlazio ez-lineala azaltzen zuen artikulua izenpetzen zuen. Artikulu hau fluxu
ez-newtondarrei buruzko lehen lantzat jotzen da.
Journal of Rheology aldizkariaren lehen aleetan argitaratutako lanetan fluxu
makroskopiko desberdinen eta higidura atomiko, molekular, intermolekular eta
dominioen arteko erlazioak bilatzea zen helburua, non egoera ekuazio
erreologikoak edo ekuazio konstituegileak planteatu ziren. Ekuazio hauetan
tentsioen eta deformazioen arteko erlazioak t denboran eta beraien deribatuak
denboran zehar lortzen dira.
Erreologiaren bilakaeran eremu zabala dugu, non muga-egoerak Hooke-ren
solido elastiko ideala eta Newton-en likido liskatsua ditugun. Horrela, ez dago
materialik Hookeren solidoa baino solidoagorik ezta likido newtondarra baino
likidoagorik.
Newtonek likido baten osagaiak labaintzean gertatzen den marruskadura
osagai horien aldentze-abiadurarekiko proportzionala dela proposatzean, lehen
erlazio konstituegilea plazaratu zuela esan dezakegu. Bestalde, garai berean
Hookek bere izena daraman legearekin solido elastiko ideala definitu zuen; hau da,
ut tensio sic vis edo deformazioa indarrarekiko proportzionala da.
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 9
Gaur eguneko mekanikan erabiltzen diren kontzeptu ugari, tentsore, tentsio
eta deformazio-abiadura, adibidez, XVII. mendeko Zientziaren Filosofoentzat
ezezagunak ziren, eta berauen definitzea eta ekuazio konstituegile berrien sormena
Erreologiaren hasieratzat har ditzakegu. Ildo honetan, 1705. urtean, James
Bernouillik "tentsio ertaina" eta "deformazio ertaina" definitu zituen. Tentsio
ertaina aplikaturiko indarraren eta aplikatze-azaleraren arteko erlazioa da eta
deformazio ertaina luzera-aldaketa hasierako luzerarekikoa. 1727. urtean Euler-ek
ziri baten flexio-modulua eta trakzio-modulua eta inertzi momentua lotzen dituen
erlazioa teorikoki deribatu zuen. Mende bukaeran Coulomb-ek teknika
erreologikoen garapenean funtsezkoa den oszilazio askeko tortsio-pendulua garatu
zuen, zeinekin higidura baxuko likidoen erresistentzia neur daitekeen.
1820an Navier-ek elastikotasunaren eta liskatasunaren teoria tridimen-
tsionalak abiarazi zituen. Solidoak eta fluidoak poliki deformatzen den masa
puntualez osatutako egiturak kontsideratuz, Navierek solido elastiko isotropoen eta
fluido liskatsu konprimaezinen higidura-ekuazio diferentzialak lortu zituen. Urte
batzuk geroago, Cauchy-k pauso funtsezkoa egin zuen gorputzak ingurune
jarraitzat kontsideratuz eta tentsio eta deformazio tentsoreak badirela frogatuz.
Autore honen lanak oinarrizkoak gertatu dira algebra tentsorialaren garapenean.
XIX. mendean likidoetan egindako neurketa esperimentalak asko ugaritu
ziren. 1840. urtean, hain zuzen, hodi batean zeharko fluxu laminarrezko
biskosimetria erabiltzen hasi zen. Metodo honetan Hagen-Ponseille-ren
ekuazioaren aplikazio zuzenean likidoaren liskatasuna kaudaletik eta presio-
-galeratik kalkulatzen da. Zerbait geroago Couette zilindro kontzentrikoen
biskosimetria birakaria aztertzen hasi zen.
XIX. mendeko bigarren erdialdean gaur egun Erreologia denarentzat oso
garrantzitsuak izan ziren Kelvin, Maxwell eta Boltzman-en lanak aurkeztu ziren.
Kelvinek, solidoek higidurarekiko duten barne-erresistentzia airearenarekiko askoz
handiagoa dela frogatzean, solidoen barne-erresistentzia, liskatasuna funtsean,
definitu zuen. Horrela, solido liskaelastikoaren kontzeptua azaldu zen. Bestalde,
1867. urtean, Maxwellek gasak fluido liskatsu eta elastikotzat joaz egindako
esperimentuetan liskaelastikotasunaren lehen ekuazio konstituegilea garatu zuen.
Maxwellek, Hookeren elastikotasunaren eta Newtonen liskatasunaren ekuazioak
konbinatuz, mozte-tentsioa liskatasunaren eta erlaxazio-denboraren funtzio
moduan kalkulatu zuen. Erlaxazio-denbora hau liskatasun- eta elastikotasun-
-moduluaren arteko zatidura da. Azkenik, Boltzman-ek 1876. urtean planteatutako
"Gainezartze-printzipioa"-k t bateko tentsioa beste aurretiko edozein t'-ko
tentsioen batura bezala kalkulatzea posible egiten du, non deformatze-abiaduraren
funtzio bezala idatz daitezkeen. Gainezartze-printzipioa erabiliz, Maxwell-en
ekuazioaren era integrala ebatz daiteke eta material liskaelastikoen oroimen
kontzeptua sortzen da.
10
XIX. mendearen bukaeran eta hurrengoaren lehen urteetan propietate
ezezaguneko material berri asko agertzea gertatu zen. Hauen artean ondorengoak
zeuden: kautxu saretuak, adhesiboak, erretxina termoegonkorrak, zelulosaren
deribatuak, hormigoiak eta gero eta ugariagoak ziren polimero termoplastikoak.
Beti bezala, material berri hauek zientzilarien azterketen eremu berri eta zabala
bilakatu ziren.
1905. urtean parafinen egitura kimikoak liskatasunean zuen eragina aztertzen
hasi zen Bingham, eta ia aldi berean, 1906. urtean Einsten-ek ingurune newtondar
batean partikula diskretuek eragindako aldaketa aztertuz esfera-esekidura baten
liskatasuna kalkulatu zuen. 1913. urtean Faraday Societyk koloideei eta
liskatasunari buruzko General Discusion izenekoa antolatu zuen. XX. mendean
materialen deformazioa eta fluxua neurtzeko eta aztertzeko behar zen erreminta
fisiko-matematikoa finkatuta zegoen eta Fisikaren adar berria, Erreologia, hain
zuzen, irekita zegoen.
1.2. ERREOLOGIAREN GARAPENA. GAUR EGUNEKO EGOERA
Erreologia eta polimeroak II. Mundu Gerra aurretik asko garatzea ez da
ustekabea. Adibidez, Staudingerrek hainbat polimerorekin egindako fluxu-
-neurketen ondorioz, 1926an Fisikako Elkarte Alemaniarrean presentatu zituenak,
liskatasunaren eta pisu molekularraren arteko erlazio zuzena aurkitu zuen.
Beharbada hau izan zen polimero kontzeptua (katea modukoa eratuz errepikatzen
diren elkarlotutako monomero-segida), onartua izatea lortu zuen aurkikuntza
esperimentala. Ordurarte, eta batez ere kimika klasikoen eskutik, polimeroentzat
koloide termino jenerikoa erabiltzen zen. Staudingerren legeak funtsezko
garrantzia izan zuen eta, nahiz eta ondoren lege biskosimetriko konplexuagoek
gainditu, Erreologiaren arlo berezi baten hasiera ekarri zuen, katea polimerikoen
dinamika, hain zuzen. Dinamika makromolekularrak sortu lan teorikoak hagitz
izan dira azken hamarkadetan, Debye-k 1940ko hamarkadan molekula isolatuen
higidurez egindakoekin hasiz, 1950eko hamarkadako Kirkwood-enetatik pasatuz,
berrienak diren sistema kondentsatuetako kateen narrazteari buruzko Edwards eta
De Gennes-en teorietaraino.
Journal of Rheologyren lehen alea kaleratu zen urte berean poliestirenoaren
injekziozko moldeoa industrialki erabiltzen hasi zen eta 1934an polimero
termoelastikoetarako lehen estrusorea azaldu zen.
Erreologiaren munduan hau guztia gertatzen zen bitartean, 1927. urtean
PVCa jaio zen, kautxu sintetikoa 1931an, poli(metil metakrilato)a 1934an eta
Nylona 1938an.
Polimeroen prozesatze-metodoek (estrusioa, injekzioa, konpresioa, e.a.)
materialaren pisu molekular altuak eragindako fluxu-arazo asko sortzen dituzte, eta
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 11
honela hasiera-hasieratik Erreologi Elkarteak eta termoplastiko, zuntz, kautxu eta
adhesiboen industriak lotura sendo eta emankorrak izan dituzte. Lotura hau
produkzio industrialaren alorrera mugatu beharrean, fluido ez-newtondar eta
liskaelastikoen teoriaren oinarrizko arloetara eta parametro molekularren eta
funtzio erreologikoen arteko erlazioaren azterketara zabaldu zen. Gairik aztertuena
deformazio-abiadurak eta tenperaturak liskatasunean duten eragina izan zen. Ildo
horretan pseudoplastizitatea, hau da, deformazio-gradientea handitzeak dakarren
liskatasun-jaitsiera, polimeroen prozesaketan oso garrantzitsua den polimeroen
propietatea, aurkitu zen, portaera ez-lineal honek polimero kondentsatuen
prozesaketa erabilgarria bihurtzen baitu. Portaera hau azaltzeko dauden teoriak
katea polimerikoen dinamikaren teoriekin lotuta daude, eta denboran zehar
traslazio-, errotazio- eta trakzio/konpresio-higidura duten katea isolatuen
teorietatik, fluxua baldintza konkretuetan eragotz dezaketen sare higikorren
planteamendua ematen duten korapilatze-teorietara garatu dira. Tenperaturak
liskatasunean duen eraginari dagokionez, Erreologiak fluxu aktibatuaren eta
bolumen askearen kontzeptuak bereganatu ditu. Azken hau mende hasierakoa
izanik, Buechek 1960ko hamarkadan birplanteatu zuen presioak liskaelas-
tikotasunean joka dezakeen eragina gehituz. Presioaren eragina funtzio
erreologikoetan gaur eguneko azterketagai garrantzitsua da.
1940 eta 1950eko hamarkadetan, dinamika makromolekularrez gain, sortzen
zihoazen material berriak, ez beti izaera polimerikokoak, azaltzen zituzten portaera
elastiko eta liskatsu ez-linealaren azalpena bilatzen zuten ekuazio konstituegile
berriak garatu ziren. Liskaelastikotasun ez-linealaren efektu aipagarrienetakoa
mozte-fluxu sinplean tentsio normalak agertzea da. Weissenberg efektua, adibidez,
tentsio normalen ondorio argiena da. Weissenbergek eragin hau Nature aldizkarian
1949an argitaratu zuen, nahiz eta badirudien II. Mundu Gerraren garaian Britainia
Handian aztertzen hasia zegoen aplikazio militarreko ikerketak medio. 1950eko
hamarkadan Erreologi Elkarte Britainiarraren buru izandako Olroyd-ek tentsio
normalak deformazio abiaduraren funtzioan plazaratzen zituen ekuazio
konstituegilea lortu zuen.
Tentsio normalak eta beraien ondorioak oso garrantzitsuak dira polimeroen
prozesaketan, hile-hodiko edo pitzadurako estursioan puzteak eta distortsioak
sorrarazten baitituzte. Bestalde, esekiduren fluxu propietateetan (elikagaiak, likido
biologikoak, e.a.) ere eragin zuzena dutenez, ez da harritzekoa azken hamarka-
detan lan esperimentalaren alor zabal bat tentsio normalen neurketa izana.
Garatutako teknikak Weissenberg efektuan (kono-plaka sistemetan) edo
pitzaduretatik irteerako presio-galeretan oinarritutakoak dira, besteak beste.
Tentsio normaletatik aparte, azken urteotako erreometria trakzioko fluxuen,
fluxu trantsitorioen eta saio dinamikoen neurketan saiatu da. Saio dinamikoak dira,
materialen fisikaren ikuspuntutik behintzat, emankorrenak. Tentsio harmonikoa-
12
ren eta lortutako deformazioaren arteko desfasearen neurketek materialaren energi
galerak eta pilaketak maiztasunaren, tenperaturaren eta deformazioaren anplitu-
dearen funtzioan neurtzea da saiaketa dinamikoen aplikagarritasunik
garrantzitsuena. Zener-ek teknika hau jadanik erabilia zuen 1940ko hamarkadan
metalen anelastizitatea aztertzeko. Neurketa hauekin, bestalde, materialen galerak
tenperaturaren edo maiztasunaren funtzioan neurtuz, higikortasun molekularraren
aldaketak aurki daitezke; materialen erlaxazioa eta beira-trantsizioa material
amorfoetan, neur daiteke alegia.
Dispertsioek Erreologiaren arloan berezko garrantzia duen taldea osatzen
dute. Fase likidoaren eta solidoaren arteko orekaren eta fase jarraiaren izaeraren
funtzioan, dispertsioen portaera erreologikoa solido liskaelastikoarenetik likido
newtondarreneraino joan daiteke. Dispertsioak (emultsioak edo esekidurak), hots,
polimeroak, detergenteak, latexak, pinturak, konpositeak, porlanak, lubrika-
tzaileak, botikak, sistema biologikoak, e.a., hain ugariak izan, eta gainera, askotan,
dispertsioen propietate koloidalak beraien aplikagarritasunaren sustraian egoteak,
sistema hauen ikerketak erreologiari indar handia eman dio gaur egun.
Erreologi Elkartearen garapena oso azkarra izan zen. Gaur egun, American
Institute of Physicsen barnean kokatzen da eta bazkideen kopurua 2.500 baino
handiagoa da. Munduan zehar beste Elkarte batzuk ere agertu ziren; 1940an,
Scott-Bleir tarteko zelarik, British Rheologist's Club sortu zen, geroago, Erreologi
Elkarte Britainiarra deituko dena. 1982an Espainiako Erreologi Taldea, C.S.I.C.-ko
Aleman Doktoreak bultzatua, jaio zen. Gaur egun 50 bazkide inguru ditu.
Munduko Lehen Erreologi Kongresua Schevemingen-en (Herbehereetan)
antolatu zen 1948an, Sydney-en 1988an egindakoarekin lau urtean behin batutako
hamar kongresu izan direlarik. 1982an hasita, eta lau urtean behin, talde
europarrek Europako Erreologi Batzarrak antolatu dituzte.
Aldizkariei dagokienez, American Institute of Physicsek kaleratzen duen
Journal of Rheology aldizkariaz gain beste anitz sortu dira. Horrela, 1958an
jaiotako Rheologica Acta; gai biologikoez kezkatzen den Biorheology eta
erreologiaren ikuspuntu fisiko-matematikoa lantzen duen Journal of Non-
-Newtonian fluid Mechanics. Bestalde, Erreologi Elkarte Britainiarrak beste
aldizkari batzuetan agertzen diren erreologiari buruzko artikuluen laburpenak
argitaratzen dituen Rheology Abstract bultzatu zuen. Laburpen hauen iturri diren
aldizkarien artean, polimeroei buruzkoak Journal of Polymer Science: Physics
Edition, Polymer, Journal of Applied Polymer Science, hain zuzen; beste material
motei buruzkoak, Physics and Chemistry of Glasses, American Ceramic Society
Bulletin, Journal of Food Science, adibidez edo Fluidoen Fisika edo Fisika
molekularrari buruzkoak, Journal of Chemical Physics, Molecular Physics eta
Journal of Fluid Mechanics, adb.
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 13
Erreologian argitaratzen diren lanen sailkapen egokia Rheology Abstractsen
agertzen dena dirudi:
Teoria (fenomenologia, egitura, zenbaki-analisia).
Teknika instrumentalak.
Solidoak.
Polimeroak eta beste material liskaelastikoak.
Disoluzioak eta dispertsioak.
Fluido puruak.
Gaur egun Erreologiak onartzen duen eremua hain zabala izanik, oinarrizko
zientziatik aplikazio ugaritaraino, planteamendu orokorrak gero eta ezinago bihur-
tzean, espezializaio-maila handia nahitaezko errealitate bilakatu da, non fisikarien,
kimikarien, injineruen, biologoen eta medikuen ikerkuntza-eremuek elkarguru-
tzatzen duten.
Dena den, erreologiak oso arazo desberdinak oinarrizko planteamendura la-
burtu edo arazo berdina ikuspuntu oso desberdinetatik aztertzeko duen gaitasuna
dela eta, gai desberdinak ezik erabilitako analisi-metodoek ematen diote zientzia
honi beharrezko duen sistematizazioa.
1.3. DEBORAREN ZENBAKIA
Heraklitoren esaerak, gauza guztiak isurtzen dira, material solidoen eta
likidoen arteko dialektikara garamatza. Material oro isurtzeko gauza bada,
Erreologiak solidoekin ere egin beharko du lan. Baina solidoen erlaxazioa,
lasaikuntza, amore ematea, oso motela da, motelegia batzuetan gure esperimentuak
egin ahal izateko.
Solidoen eta likidoen arteko mugak, Heraklitoren esaeraren arabera, ondo
finkatu gabe zeudela ikusi zuen Reinerek eta Heraklito Iluna argitu nahirik,
oinarrizko kontzeptu bat sortu zuen: Deboraren zenbakia.
Hona hemen Reiner inspiratu zuen Deboraren salmoaren zatia:
Mendiak, baita Sinai ere,
Isuriz doaz Jaunaren aurrean,
Heraklitoren esaerarekin konparatuz, kantu honek zerbait berria eskaintzen
digu. Debora Heraklito baino areago doa. Gauza guztiak isuriz doaz; mendiak ez
dira beraz salbuespen izango baina Deborak dioenez, mendiak ez dira gizonaren
aurrean isurtzen, Jaunaren aurrean baizik. Zergatik ez zigun Heraklito ilunak puntu
hau argitu? Irakurleek Erreologia/Teologia nahaste-borraste hau barkatuko
14
digutelakoan gaude, batez ere gauzak argitzeko balio baldin badu; ez baitugu
ahaztu behar gizakiaren behaketa/esperimentaziorako denbora finitua dela eta
Jaunarena, berriz, infinitua. Beraz, gizakiak ezin dezake ikus bere bizi guztia
horri eskaintzen badio ere mendi baten fluxua, azken hau motelegia baita. Baina
Jaunak (edo behaketa-epea infinitua izan dezakeen izakiak) bai; zeren eta, zer dira
1030 segundo (mendi batek egiteko eta desegiteko, isurtzeko hain justu, behar duen
denbora) behaketa-epea 1060 segundokoa denean?
Hau guzti hau kontutan izanik, Reiner-ek honela definitu zuen Deboraren
zenbakia:
Lasaikuntza-epea, tentsio baten aurrean materialak duen esponentzialaren
funtzioaren bidez kalkula daiteke. Material batzuek azkarrago etsitzen dute,
lasaitzen dira, besteak baino. Likidotzat jotzen ditugunek lasaikuntza-epe txikiak
dauzkate; adibidez, uraren lasaikuntza-epea 1013 segundokoa omen da. Bestalde,
solidoek lasaikuntza-epea askoz ere handiagoak dituzte.
Behaketa-epea da Deboraren zenbakian agertzen den aldagaia. Behaketa-epea
nahi adina txikia edo handia kontsideratzea badago, ura solidotzat eta mendiak
likidotzat jo ditzakegu. Izan ere, likidoa tentsio mekanikoaren menpean etengabe
formaz aldatzen ari dela kontsideratu ohi da, eta hori gertatuko litzateke mendiekin
behaketa-epea 1060 segundokoa balitz. Uraren kasuan, behaketa-epea oso txikia
kontsideratuz (adibidez 1020 s) urak solido baten portaera izango luke epe horretan
bere forma ez bailitzateke aldatuko, nahiz eta aplikatutako tentsioa handia izan.
Ur-molekulek ez lukete higitzeko denborarik izango eta ez litzateke deformazio
jarrairik sortuko. Solido eta likido kontzeptuak, beraz, denborarekiko erlatiboak
dira, eta Reinerek Deboraren zenbakia sortu zuenean zera ezarri zuen: De
denean, jokaera solidoa da eta De 0 denean, likidoa. Baina De = berdintza
behaketa-epea asko gutxituz ere lor daiteke eta De = 0 berriz, behaketa-epea
luzatuz.
Azken finean, Heraklito ilunaren esaera beti beteko da, behaketa-denbora
egiten bada; kasu horretan De = 0 izango baita eta, beraz, edozein material likidoa
izango da, eta isuri egingo da.
1.4. JOKAERA LISKAELASTIKOA ETA BESTEAK
Gure lanean, gure ikerketetan, eguneroko bizian ordea, ez dugu teorian
eskaintzen ari garen aukera zabala izaten. Irakurleak ebalua dezake, segundotan,
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 15
De =
Lasaikuntza - epea
Behaketa - epea
zein den ikertzaileok daramagun bizitza latz honetan lor dezakegun behaketa-
-eperik handiena. Eta hori, lanpostua pentsatzen genuen baino lehenago ez badugu
galtzen! Beraz, konforma gaitezen dugunarekin eta saia gaitezen Erreologia gure
mugetara finkatzen. Zorionez, liburu honetan ikusi ahal izango dugun bezala,
tenperatura gure laguntzailea izango da, eta tenperatura/denbora gainezarmenak
bide berriak eskainiko dizkigu.
Solido kontzeptuan gehiago sakontzeko, Hooke arkitekto ingelesarengana jo
behar dugu, 1676. urtean berak proposatutako esaerara, hain zuzen: Ut tensio, sic
vis; hots, nolako tentsioa, halako deformazioa. Hori da solido hooketar edo ideal
batean gertatzen dena, 1.1 irudian adierazten den bezala.
Eta, denborarekin zer?, galde die-
zaiokegu gure buruari. Ba, den-
borarekin ezer ez, erantzungo
liguke Hookek bere solidoa ideala
baita, eta honela izanik behin ere
ez baita erlaxatzen edo lasaitzen;
bere egiturak ez du behin ere
amore ematen. Solido ideal, Hoo-
keren solido honek bai, baina zerk
edo nork ez du etsitzen gaur
egun?...
Hortaz, solido hooketar ideal
honetan tentsioaren eta deforma-
zioaren arteko erlazioak konstante
irauten du denboran zehar. Bestal-
de, tentsioa ezarri eta deformazioa
lortu ondoren tentsioa kentzen
badugu, solidoak bere hasierako
forma berreskuratuko du; fenomeno honi elastikotasuna esan ohi zaio.
Elastikotasuna eta materialen memoria kontzeptu sinonimotzat jo ditzakegu,
zentzu zabalean behintzat.
Material solido idealek memoria infinitua izango lukete eta guztiz elastikoak
izango lirateke; denbora iragan ahala, memoria hau ez zaie ahultzen, barne-
egiturak etsi gabe diharduelarik. Azken finean, mundu honetan bizi garenontzat
Deboraren zenbakia infinitua da.
Likidoei dagokienez, likido newtondarra dugu adibiderik zintzoena. Likido
idealak bere forma etengabe aldatzen du, eta ezin daiteke, beraz, deformazioaz
hitzegin kasu horretan. Deformazioa denborarekin etengabe aldatuz doa, baina
deformazio-abiadurak konstante irauten du. Kasu horretan materialaren jokaera
16
1.1 irudia: Tentsioaren () eta deformazioaren ()
arteko erlazioa solido hooketarraren
kasuan.
liskatsua edo biskosoa dela esan ohi da; liskatasuna tentsioaren eta deformazio-
-abiaduraren arteko erlazioa da eta konstante dirau, 1. 2 irudiak adierazten digun
bezala.
Likido newtondarrek energia guztia xahutu edo disipatu egiten dute, ez dira,
beraz, batere elastikoak, ezin baitute inola ere beren forma originala berreskuratu.
Hauen memoria zero dela esan dezakegu: berauen lasaikuntza-epea oso txikia
baita. Behaketa-eperik txikiena kontsideratuko bagenu ere, likido newtondar
idealek likido bezala jokatuko lukete, beraien Deboraren zenbakia zero delako.
Hooke eta Newton, solido elastiko ideala eta likido liskatsu idela, hona
hemen gure eremuaren mugak. Eta, tartean zer?; ba... tartean dena, errealitatea,
material ororen egiazko jokaera, erreologook sinplifikatzen saiatzen garen jokaera
konplexuak. Adibidez, polimero urtu baten erlaxazio- edo lasaikuntza-denbora 102
segundo delarik eta esperimentazio-denbora ere 102 segundo baldin bada, nola
sailkatu material hori? Likido liskatsu edo solido elastiko bezala?
Erantzuna, irakurleari salomonikoa iruditzen bazaio ere, materiala
liskaelastikoa dela da. Elastikoa da, gai baita da energia pilatzeko eta egoera
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 17
1.2 irudia: Zenbait likidoren jokaera mozte-fluxuan: a) newtondarra;
b) ez-newtondarra, pseudoplastikoa, c) ez-newtondarra,
dilatantea, d) Bingham-ena edo plastikoa.
21
21
.
e
c
d
a
b
originala maila batean gogoratzeko, baina halaber, liskatsua da energia xahutzen
duelako eta memoria azkar galtzen duelako.
Polimero solido baten jokaera ere liskaelastikoa da; lasaikuntza-epea
likidoaren kasuan baino altuagoa bada ere, denboraren iraganarekin fluxu motela
edo creep delakoa agertzen da, ez guztiz solido ez likido den egoera erakutsiz.
Batzuetan jokaera hori ikusteko ikerlariak pazientzia apur bat beharko du izan
(ordu batzuk, egun batzuk, hilabete pare bat..) baina ars longa, vitae brevis izanik
ere, polimeroen liskaelastikotasuna behintzat ondo atzeman daiteke.
Baina, jokaera liskaelastikoa ez da polimeroetan bakarrik azaltzen. Adibidez,
esnearen gainak, odol gatzatuak, jogurtak, mamiak, irin-oreak, ahiak, gelatinak eta
beste hainbat eta hainbat produktuk liskaelastikotasun nabarmena darakusate.
Liskaelastikotasunak, beraz, Erreologiaren alor handi bat betetzen du, baina
ez eremu osoa. Badaude likido guztiz liskatsuak; hots, liskaelastikotzat ezin
kontsidera daitezkeenak, baina newtondarrak ere ez direnak. Likido hauei likido
ez-newtondar esaten zaie eta pseudoplastikoak edo dilatanteak izan daitezke. 1.2
irudian ikus dezakegunez, kasu hauetan liskatasunak ( eta -ren arteko erlazioa)
ez du konstante irauten, likido newtondarretan bezala. Pseudoplastikoen kasuan
liskatasuna gutxituz doa deformazio-abiadura handitzen den neurrian, dilatanteetan
alderantzizkoa gertatzen delarik. Polimero urtu eta disolbatu gehienak,
liskaelastikoak izateaz gainera, pseudoplastikoak dira. Jokaera dilatantea nahikoa
bitxia da, baina zenbait plastisoletan ager daiteke. Odola, tomate-saltsa, platano-
pureak eta anitz zopa eta saltsa pseudoplastikoak dira.
Binghamen jokaera plastikoa ere aipagarria da. jokaera hau 1.2 irudian
agertzen dugu. Dakusagunez, tentsio kritikoa lortu arte deformazio-abiadura zero
da, jokaera solido batena dela adieraziz. Baina behin tentsio hori gaindituz,
jokaera, likido newtondorrena edo likido ez-newtondarrena izan daiteke. Pintura
plastikoak eta zenbait plastisolek jokaera hau aurkeztu behar dute benetan
erabilgarriak izan daitezen. Izan ere, isipuaren bidez tentsio kritikoa gainditzen
dugu eta pintura paretan igurtzi dezakegu (mozte-fluxua lortuz), baina isipuaren
indarrik gabe, grabitatearen eragina ez da nahikoa pintura behera erortzeko,
tentsio kritikoa baino txikiagoa bada behintzat. Binghamen jokaera plastikoa,
lohi-esekiduretan, patata-purean, gurinean eta beste produktu askotan ere ikus
daiteke.
Hauek dira Erreologiak aztertzeko proposatzen dizkigun zenbait jokaera.
Jokaera berezi hauetan sakontzeko; saiakuntza bereziak egin behar, baina hauetan
parte hartuko duten aldagaiak, beti ere honako hauek izango dira: tentsioa,
deformazioa (edo deformazio-abiadura) eta denbora.
18
1.5. DEFORMAZIOA, TENTSIOA ETA DENBORA: EKUAZIO
KONSTITUEGILEAK
Bai jokaera liskaelastikoaren kasuan eta bai jokaera elastikoaren kasuan ere,
puntu bateko deformazio-egoera deformazio-tentsorearen bidez agerten da. Puntu
horri elementu kubiko bat dagokiola kontsideratzen badugu, deformazio-
-tentsoreak kubo horren angeluen eta dimentsioen aldaketak adieraziko dizkigu.
Deformazio-abiadura tentsoreak, dimentsio eta angelu-aldaketa horien
denborarekiko deribatua adierazten du. Halaber, tentsio-egoera tentsore baten
bidez (tentsio-tentsorearen bidez, hain zuzen) emana datorkigu. Tentsio-tentsoreak,
elementu kubiko honen azaletan eragiten duten indarrak agertzen ditu.
Deformazio infinitesimal baten kasuan, deformazio-tentsorearen osagaiak
honela adierazten dira, koordenatu cartesiarretan:
xi (i=1,2,3) deformazioa aztertzen ari garen puntuaren koordenatuak dira eta
ui, deformazioaren ondorioz puntuak izandako desplazamendua; adibidez,
° goi-indizeak hasierako egoera, deformaziorik eza, adierazten
duelarik.
Deformazio-abiadura tentsorea berdin formulatzen da, baina uiren ordez vi
(desplazamendu-abiadura ui/t) erabiliz).
Deformazioarekin eta honek denborarekiko duen menpekotasunarekin,
tentsio-egoera agertzen da. Tentsioa adierazteko tentsio-tentsorea erabiltzen da:
ui = xi - xi
o
,
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 19
ij =
2
u1
x1
u2
x1
+
u1
x2
u3
x1
+
u1
x3
u2
x1
+
u1
x2
2
u2
x2
u2
x3
+
u3
x2
u3
x1
+
u1
x3
u2
x3
+
u3
x2
2
u3
x3
(1.1)
ij =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(1.2)
Tentsio-tentsorearen esanahi fisikoa ikusteko, kontsidera dezagun 1.3 irudia.
Irudi honetan ikusi ahal dugun bezala, i azpiindizeak aurpegi bakoitzari
dagokion norabidea adierazten du eta j azpiindizeak indarraren norabidea. Tentsio
normalak i = j denean azaltzen dira.
Definitu ditugun tentsoreak eta hauen arteko erlazioak erabiltzen ohitzeko,
Erreologian askotan kontsideratzen den kasu bat aztertuko dugu: mozte-espe-
rimentu baten kasua.
Mozte sinplearen kasuan, elementu kubikoaren aurkako bi aurpegiek higidura
erlatiboa dute, batak bestearekiko labaintze-efektua izanik, 1.4 irudiak erakusten
duen bezala.
Irudi honetan dakusagunez, 1-3 azala 1 norabidean irristatzen da. Defor-
mazio-tentsorea koordenatu cartesiarretan, 1.1 ekuazioaren bidez emana datorkizu
eta kasu berezi honetan, osagai guztiak zero direla ikus dezakegu, u1/x2 = tg
ez ezik, beraz:
20
1.3 irudia: Tentsio-tentsorearen osagaiak.
22
33
32
31
13
11
12
23
21
3
2
1
21 = 12 = u1 / x2 =tg delarik.
Bestalde, 1.3 irudia kontutan hartuz, tentsio-tentsorea, kasu berezi
honetarako, hau da:
21 = 12 delarik, simetri kontsiderazioak direla medio. Mozte sinplearen
kasuan, beraz, tentsio-tentsoreak eta deformazio-tentsoreak zero ez den osagai
bakar bat dute: 21 eta 12 hurrenez hurren. 21 deformazioa eta 21 tentsioa
denboraren funtzio dira eta ekuazio baten bidez loturik daude. Ekuazio honi
ekuazio konstituegile esaten zaio eta jokaera liskaelastikoa agertzen du.
ij =
0 12 0
21 0 0
0 0 0
(1.3)
ij =
0 12 0
21 0 0
0 0 0
(1.4)
1.4 irudia: Mozte sinplea elementu kubiko batean.
1
2
Erreologia eta jokaera biskoelastikoa 21
Ekuazio konstituegileak (bat baino gehiago baitago) oso sinpleak dira mozte
sinplearen kasuan. Adibidez, 21(t) mozte-tentsioa deformazioaren historiaren
arabera honela ipin daiteke:
Ekuazio honetan, aldaketa sekuentzialen eraginak aditiboak, gehigarriak,
direla kontsideratzen da (hortik integral-forma). Integralak ·
21 deformazio-abia-
duraren historia osoa betetzen du, -tik (denboraren gauean galdutako unea!)
oraintxe bertako unea markatzen duen t-raino; historian zehar, t' une bakoitza
kontuan hartuz. G(tt') lasaikuntza-modulua da. Lasaikuntza- edo erlaxazio-
-moduluaren zentzu fisikoa aurrerago ikusiko dugu.
1.5 ekuazioa integratuz, honako adierazpen alternatiboa lortzen da:
Ekuazio honetan, integralak 21 deformazioaren historia betetzen du eta
m(tt') = dG(tt')/dt' memoriaren funtzioa da.
Aldaketa sekuentzialen eraginak aditiboak direla kontutan hartuz, defor-
mazioa tentsioaren deribatuaren funtzio bezala ipin daiteke:
J(tt') konpliantza funtzioa da eta, lasaikuntza-moduluaren kasuan bezala,
bere esangura fisikoa aurrerago (2. ikasgaian) ikusi ahal izango dugu.
Ekuazio konstituegileek, beraz, mozte-esperimentuetan tentsioaren edo
deformazioaren egoera adierazten digute, G(tt'), J(tt') edo m(tt') funtzioak
ezagutuz gero.
Erreologiaren eginkizun garrantzitsuetako bat funtzio hauek taxutzea eta
materialaren egiturarekin dituzten erlazioak aztertzea izango da.
1.6. MOZTE-FLUXU MONODIREKZIONALA; LISKATASUNA ETA
TENTSIO NORMALAK
Erreologiaren atal garrantzitsuetako bat fluxuari dagokio eta bereziki mozte-
-fluxu sinpleari. Hainbat eta hainbat arazo erreologiko fluxu sinplearen mailan
22
21(t) t( ) = G(t - t') 21(t')dt'
-
t
(1.5)
21(t) = m(t - t') 21(t')dt'
-
t
+ G(0)21(t) (1.6)
21(t) = J(t - t') 21(t')dt'
-
t
(1.7)
planteatzen da: Poseuille-k odolaren higidura zainetan aztertu zuenean mozte-
-fluxua kontsideratu zuen; estrusioaren bidez plastikozko pieza bat egitekoan
mozte-fluxu sinplea sortzen da; hortzorea bere hoditik ateraraztean mozte-fluxu
sinplea aplikatzen ari gara; mendi batetik behera emeki isuriz doan glaziarraren
higidura aztertzeko fluxu sinplearen ekuazioak hartu beharko ditugu kontutan,
etab.
Mozte-fluxua gerta dadin, materialak muga geometrikoa izan behar du.
Adibidez, hodi batean dagoen materialaren kasuan, paretaren muga pairatzen
duelako sortzen da moztea edo ebakidura. Mozte-fluxurik sinpleena (mozte-fluxu
sinplea esango dioguna) abiadurak norabide bakarra duenean gertatzen da.
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 23
z
r
z
z
r
Poiseuille fluxua
1 2 3
z r
Couette fluxua
1 2 3
r z
Xafla paraleloen
arteko fluxua
1 2 3
z r
Kono/xafla fluxua
1 2 3
r
r
1.1 Taula.
Fluxu-ekuazioak planteatzeko hiru norabide kontsideratuko ditugu: 1.
norabidea fluxuaren da; hots, abiaduraren norabide bakarra (beraz, v = (v1, 0, 0), 2.
norabidea, abiaduraren aldaketaren norabidea da, eta 3. norabidea neutroa da.
1.1 taulan mozte-fluxu sinplearen lau kasu kontsideratu ditugu, hiru
lehenengoetan koordenatu zilindrikoak erabiltzen dira eta laugarrenean koordenatu
esferikoak. Taula horretan agertzen ez den bosgarren kasu aipagarri bat ere
kontsidera dezakegu: likido bat plano okertu baten azaletik isuriz gero fluxua
monodirekzionala izango litzateke eta berau aztertzeko koordenatu cartesiarrak
erabiltzea izango litzateke komenigarriena.
1.1 taulan dakusagunez, limitazio geometrikoak direla medio materialaren
elementu guztiek ez dute abiadura berdina. Geometriaren arabera, posizio
erlatiboen funtzioan, elementu batzuk besteak baino azkarrago higitzen dira.
Adibidez, 3. kasuan (xafla paraleloak), beheko xafla biraka ari da, goikoa geldirik
dagoen bitartean. Beheko aldean dauden material-elementuak azkarrago higituko
dira goiko aldean daudenak baino.
Abiadurak posizioarekiko menpekotasuna izatea, muga geometrikoen eta
elementuen arteko marruskaduren ondorioa da.
Deformazio-abiadura tentsorearen definizioa kontutan hartuz (1.1 ekuazioan
vi ipiniz ui-ren partez), hau izango genuke:
·
21 = dv1/dx2 adierazpenari deformazio-abiadura, abiadura-gradientea edo
mozte-abiadura esan ohi zaio.
1.5 irudian, 1.1 taulako fluxuak xehetasunez ikusten dira. Materialaren bi
xafla paralelo kontsideratuko bagenitu, irudian agertzen den higidura erlatiboa
izango genuke.
Tentsioari dagokionez, materialaren egoera tentsio-tentsoreaz datorkigu
emana. Kanpoko indarrekiko erantzun bezala sortzen dira materialaren tentsioak.
24
ij =
0
dv1
dx2
0
dv1
dx2
0 0
0 0 0
(1.8)
Adibidez, Poiseuilleren fluxua gerta dadin hodiaren muturretan P presio-
-diferentziak gertatu behar du; bestela higidurarik ez dago; ezta mozte-fluxurik ere.
Presio-diferentzia ezartzen denean, materialak tentsioak pairatzen ditu eta mozte-
-fluxua sortzen da.
Likido newtondar baten kasuan, edo hobeto esanda, energia pilatzeko gauza
ez den material batean (soilki liskatsua, beraz) gertatzen diren tentsio bakarrak
mozte-tentsioak izango dira. Tentsio-tentsorea, hortaz, hauxe izango da:
Mozte-fluxu monodirekzionalentzat, tentsioa eta deformazio-abiadura
liskatasunaren bidez erlazionatzen dira: = 21/·
21.
Liskatasuna, materialaren elementuen arteko (molekulak edo molekula-
-agregazioak) marruskadura-indarren neurria da. Zenbat eta liskatasuna handiagoa
izan, orduan eta kanpo-indar handiagoa ezarri beharko da deformazio-abiadura
jakina lortzeko. Sistemari ematen zaion energia guztia marruskadura-indar horiek
gainditzeko eta deformazio-abiadura lortzeko erabiltzen da eta ezin daiteke
berreskura.
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 25
1.5 irudia: Mozte-fluxua.
ij =
0 21 0
21 0 0
0 0 0
(1.9)
fluxu-norabidea
1
2
Liskatasuna, normalki, C.G.S. unitateetan adierazten da:
Liskatasun txikiko likidoetan 1 centipoise = 10-2 poise erabiltzen da.
Liskatasun handiko materialetan M.K.S. unitateak ere erabiltzen dira, tentsioa
Pascal = Newton/m2-tan emanez, hots, Pascal.sg-1.
Orain arte esan dugunak energia pilatzeko gauza ez diren likidoentzat balio
du. Baina lehen esan dugun bezala, badaude zenbait likido energia pilatzeko gai
direnak, likido liskaelastikoak, esate baterako. Mozte-fluxu monodirekzionala ere
plantea daiteke, noski, likido liskaelastikoentzat; erantzuna, ordea, desberdina
izango da.
Likido askotan hauen artean likido polimerikoak dira nagusienetarikoak
mozte-fluxu sinplean gertatzen diren tentsioak ez dira bakarrik 21 mozte-tentsioak,
tentsio normalak ere sortzen baitira. Likido liskaelastikoetan, beraz, mozte-fluxuan
agertzen diren tentsioak honako tentsio-tentsorearen bidez adierazten dira:
Tentsio normalak, 11, 22, 33 jokaera liskaelastikoarekin erlazionatuta
daude, beraz, eta aurrerago ikusiko dugun bezala, polimeroen prozesaketan
garrantzi teknologiko handia daukate.
Likido klasikoetan, liskatasuna nahikoa bada material baten fluxu-joera ondo
ezagutzeko, likido liskaelastikoetan liskatasuna ez da nahikoa, mozte-tentsioaz
aparte, tentsio normalak agertzen baitzaizkigu. Likido liskaelastiko bat ongi
ezaugarritzeko, hiru funtzio beharko ditugu:
26
Poise =
dina / cm2
sg
ij =
11 21 0
21 22 0
0 0 33
(1.10)
=
21
1 =
11 - 22
2
(1.11)
2 =
22 - 33
2
1, tentsio normalen diferentzia nagusiaren funtzioa eta 2 tentsio normalen
bigarrenaren diferentzialaren funtzio dira. Azken hau ez da hain garrantzitsua. Ez
da erraza izaten 1 eta 2 neurtzea, tentsio normalen efektu makroskopikoak ez
baitaude oraindik ondo finkatuta. Hala ere, azken urteotan aurrerakada handiak
jazo izan dira funtzio hauek determinatzeko bidean. Jokaera liskaelastikoaren ager-
pen honetan (tentsio normalen agerpena, alegia) sistemari ematen zaion energia
guztia ez da xahutzen, parte bat berreskuratzen baita. Honela, polimeroa ilehodi
batetik estruitu ondoren (Poisseuilleren fluxua) puztu egiten da hots, ilehodiaren
diametroa baino handiagoa da polimero-hariarena energia berreskuratu dela
adieraziz .
ERREFERENTZIAK
ERREFERENTZIA OROKORRAK
R.B. Bird, R.C. Armstrong, Ole Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids
Vol.1, John Wiley & Sons (1987).
J.D. Ferry, Viscoelastics Properties of Polymers. John Wiley & Sons (1980).
M. Reiner, Deformation, Strain and Flow. H.K. Lewis Ltd. London (1960).
H. Markovitz, The Emergence of Rheology. Physics Today Apirila 1968, 23 or..
C. Truesdell, Sketch for a History of Constitutive Relations, Rheology Vol. 1
Plenum Press (1980).
H. Markovitz, Journal of Rheology, 29, (6), 777 (1985).
Erreologia eta jokaera liskaelastikoa 27
2. JOKAERA LISKAELASTIKOA
2.1. PORTAERA LISKAELASTIKO LINEALA
Portaera liskaelastikoa, funtsean, portaera liskatsuaren eta elastikoaren
tartekoa dugu. Hau oinarritat hartuz, 1867. urtean Maxwell ospetsuak mozte-
-tentsioaren eta deformazioaren arteko ekuazioa proposatu zuen:
Honela, t denean, gelditzen zaiguna:
Hau da, hain zuzen, portaera liskatsu newtondarra.
Aldiz, t 0 dugunean:
termino elastikoa gelditzen zaigu.
Ildo beretik, portaera hau teorikoki azaltzeko eredu mekaniko desberdinak
agertu ziren, non F 21 eta x 21 parekotasuna erabiltzen den. Horrela,
Maxwellen eredua 2.1 irudian azaldutakoa genuke.
Badaude, noski, eredu konplikatuagoak.
2.3 espresioaren Maxwellen ekuazioa integratuz:
non
Jokaera liskaelastikoa 29
21 +
d21
dt
G
= 21 (2.1)
21 = 21 (2.2)
d21
dt
G
= 21 (2.3)
21 =
0
e
-
t-t'
0
-
t
21 dt' (2.4)
0 =
G
(2.5)
Jeffreys-ek, eredu hau hobetu nahian, bere izena daramana (2.2 irudia) garatu
zuen.
Jeffreysen ereduaren ekuazio mekanikoa, era berean,
30
2.1 irudia.
2.2 irudia.
21 +
d21
dt
1 = 21 + 2
d21
dt
(2.6)
F = -Kx
F = -K dx
dt
non
eta
diren.
Bestetik, 2.6 ekuazioa integratuz,
non (t-t') Dirac-en bulkada-funtzioa dugun.
Azkenik, hirugarren eredua ere azalduko dugu, Maxwellen eredu orokortua
hain zuzen. Eredu hori, 2.3 irudian irudikatuta dago.
Eta integrazioz lortuko genuke 21-entzako espresioa hau da:
Jokaera liskaelastikoa 31
1 =
1
G1
(2.7)
2 =
2
G2
(2.8)
21 =
1
1-
2
1
e
-
t-t'
1
+ 22 (t - t')
-
t
21 (t') dt' (2.9)
2.3 irudia.
21 =
k
k
e
-
t-t'
k
k=1
-
t
21 dt' (2.10)
1 2 3 n
n
non
den.
Bestetik, 2.6, 2.11 eta 2.12 ekuazioak aztertzen baditugu, hirurak ekuazio
beraren espresio desberdinak direla konturatuko gara. Hau da, liskaelastikotasun
linealaren lehen egoera-ekuazioa edo lehen ekuazio konstituegilea honela defini
dezakegu:
non G(t-t') funtzioak kasu bakoitzari dagokion garapena izango duen.
Gauza bera egin daiteke 21 deformazioa kalkulatzeko. Honela adibidez,
Voigt-en eredua aplikatuz (2.4 irudia) eta orokortuz, bigarren ekuazio
konstituegilea idatz daiteke.
32
2.4 irudia.
k =
k
Gk
(2.11)
21(t) = G(t - t')
-
t
21 (t') dt' (2.12)
21(t) = J(t - t')
-
t
21 (t') dt' (2.13)
2. 2. DENBORAREKIN LINEALKI ERLAZIONATUTA DAUDEN
SAIAKUNTZAK
Bi saiakuntza-mota kontsideratuko ditugu atal honetan: alde batetik, tentsio-
-lasaikuntzazko saikuntza eta bestetik, fluxu motela edo creep izenekoa.
2.2.1. Tentsio-lasaikuntza edo erlaxazioa
Eman dezagun 21 mozte-deformazioa sortzen dugula material batean, de-
formazioari t>t0 izatean eusten diogularik, 2.5.a irudian ikus daitekeen bezala. 21
tentsioa edozein t denboran adierazteko, 1.5. ekuazio konstituegilea erabil dezakegu
·
21(t) funtzioa ezagutuz gero. 2.5.b irudiak, ·
21(t) funtzioa ematen digu.
Jokaera liskaelastikoa 33
21 (t)
t, denbora
21
t0 t, denborat0
21
t0
t
21t()
2.5 irudia: Tentsio-lasaikuntzaren edo erlaxazioren saiakuntza.
t0
t0
21 21
21(t)
a
c
b
t0
t
t, denbora
t, denbora
1.5. ekuazioa, beraz, era honetan adierazten da kasu berezi honetarako:
·
21 deformazio-abiadura zero baita deformazioa hasi baino lehen eta baita
deformazioa amaitu ondoren ere. Batezbestearen teorema kontutan hartuz, 2.1
ekuazioa honela idatz daiteke:
t = 0 egingo bagenu:
Denbora handien kasuan, (deformazio osoa lortzeko behar den denbora)
arbuiagarria da eta honako adierazpena izango dugu:
Ekuazio honetan, 21 konstantea dela azpimarratu behar dugu.
Beraz, G(t) lasaikuntza-moduluak azaltzen du tentsioaren eboluzioa denboran
zehar. 2.5.c irudian 21(t) funtzioaren lasaikuntza agertzen dugu material
liskaelastiko batentzat zein material elastiko ideal batentzat.
Material elastiko idealarentzat (hooketarrarentzat) ez dago inongo
lasaikuntzarik, deformazioa eta tentsioaren arteko erlazioak konstante irauten
duelarik. Kasu honetan, beraz, G konstantea da eta tentsioa zati deformazioa
besterik ez da. Hookek esandako nolako tentsioa halako deformazioa betetzen
da eta G-ri elastikotasun-modulua esaten zaio.
Alderantziz, material liskaelastikoetan, deformazioa konstante iraunaraziz,
tentsioa ahulduz doa, denborarekin materiala erlaxatuz edo lasaituz (amore
emanez) baitoa. Materialaren etsipena adierazten duen funtzioa G(t) da.
2.2.2.Creep saiakuntza
Kasu honetan (ikus 2.6 irudia) 21 mozte-tentsioa aplikatzen zaio materialari
eta konstante iraunarazi ere denboran zehar. 21(t) deformazio-funtzioa
denborarekiko edozein unetan jakiteko 1.7. ekuazioa erabili beharko dugu.
34
21(t) = G(t - t') (21 / ) dt'
t0 -
t0
(2.14)
21(t) = (21 / ) G(t - t + ) 0 1 (2.15)
21(t) = 21 G(t + ) (2.16)
21(t) = 21 G(t) (2.17)
Tentsio-lasaikuntzaren kasuan emandako urrats berberak jarraituz adierazpen hau
lortzen dugu:
J(t)-ri konpliantza-funtzio esaten zaio eta deformazioaren denborarekiko
aldaketa adierazten du. Material elastikoetan ez dago deformazio-aldaketarik
denborarekin, J=1/G delarik. Material liskaelastikoentzat, jeneralean J(t) 1/G(t)
da saiakuntzaren denbora-mailak desberdinak izaten baitira.
Jokaera elastikoan deformazioa une batetik aurrera, ez da gehiago handitzen,
2.6 irudian ikus dezakegun bezala. Jokaera elastikoaren adibide bezala polimero
sareatuak kontsidera ditzakegu (polimero-kateen artean zubi kimikoen bidez
osatutako sareak dituztenak; adibidez, kautxu bulkanizatuak). Bestalde, polimero
ez-sareatuek jokaera liskaelastiko tipikoa agertzen dute. 2.6 irudian ikus ditzakegu
bi jokaera desberdin hauek.
Jokaera liskaelastikoa 35
21(t) = 21 J(t) (2.18)
denbora
t0
t0
0
denbora
elastikoa
biskoelastikoa
21
21 t( )
2.6 irudia: Creep saiakuntza.
t00
21
21(t)
denbora
denbora
elastikoa
liskaelastikoa
t0
Jokaera elastikoan, Je oreka-konpliantza defini dezakegu; deformazioa
konstante egiten denean, deformazioa zati tentsioa adierazten duena.
Jokaera liskaelastikoaren kasuan, fluxu-konpliantza definitzen dugu; J(t)
funtzioaren zati lineala t = 0-ra estrapolatuz, 2.7.b. irudian ikus daitekeen bezala.
Ez dugu ahaztu behar 2.7.b. irudian adierazten duguna fluxua dela (motela izan
daiteke, baina azken finean fluxua da), deformazioa denborarekin handituz baitoa
etengabe. J(t) funtzioaren alde lineala era honetara adieraz daiteke:
lehen gaiak ( fluxu-konpliantzak) fluxuaren elastikotasuna adierazten du,
bigarrenak liskatasuna, zeren = 21 / ·
21 baita eta beraz,
idatz baitaiteke.
Je
0
Je
0
36
J(t) = Je
0
+ t / (2.19)
t t
J t( ) J t( )
Je
0
2.7. irudia: Jokaera elastikoa eta jokaera liskaelastikoa creep saiakuntzan.
a. Joekaera elastikoa. b. Jokaera liskaelastikoa.
21(t) =
21
t
Je
t
J(t) J(t)
t
Kautxuetan (polimero sareatua berau) jokaera elastikoa da eta 2.19 ekua-
zioan, J(t) = egiten da. Honek inongo fluxurik ez dagoela esan nahi du,
liskatasuna baita; jokaera, beraz, soilki elastikoa da.
Beste muturreraino joaz materiala soilki liskatsua balitz, = 0 izango li-
tzateke eta J(t) = t/ izango genuke, inongo elastikotasunik ez dagoela adieraziz.
2.8 irudian polidimetilsiloxanoaren adibidea ipini dugu (1). Polimero hau ez
dago sareatua eta 25°C-tara eginiko creep saiakuntzak adierazten duenez, jokaera
liskaelastikoa du.
Beraz, 2.8 irudian 2.19 ekuazioa aplikatzen badugu, elastikotasuna
( ) = 6 x 10-5 cm2/dina eta liskatasuna () 15 x 108 poise direla ikus dazakegu.
Normalki, creep edo fluxu motelaren saiakuntzak liskatasun handiak
(saiakuntza-denbora handiak, hilabetekoak batzuetan) neurtzeko erabiltzen dira;
adibidez, 1011 poisekoak. Aurrerago ikusiko dugun bezala, erreometroek ez dute
109 poise baino liskatasun handiagorik neurtzen.
Je
0
Je
0
Je
0
Jokaera liskaelastikoa 37
0 50 100 150 minutu
0
1
2
3
4
5
6
Jt()×10
5
cm
2
dina
2.8 irudia: Creep saiakuntza polidimetilsiloxanoaren kasuan (Pisu
molekularra = 2,7x106; tenperatura = 25°C) (1).
J(t)x105cm2/dina
2.2.3. Berreskuratze liskaelastikoa
2.12 eta 2.13 ekuazioak Boltzamnnen gainezartze-printzipioaren adibideak
dira, non historia mekanikoaren eraginak linealki batugarriak diren. Ikus dezagun
historia mekanikoan gerta daitezkeen bi adibide. Deformazioa mozte-tentsioaren
eragina dela suposatuko da.
Demagun t = 0 denean A tentsioa aplikatzen dela, t = t, denean, aldiz, B
tentsioa. 2.13 ekuazioa erabiliz, t denboran deformazio osoa zera dugu:
Espresioa i tentsio-aldaketazko serie bati aplikatuz, bakoitza ti denboran
gertatzen dena.
Adibide garrantzitsua hauxe dugu: creep edo fluxu motelezko saiakuntza bat
denboran zehar egin ondoren bapatean tentsioa desagertzen deneko deformazioa.
Une horretan, deformatze-abiadurak norabidea aldatzen du eta materiala poliki-
poliki bere hasierako egoerarantz joko du. Prozesu hori fluxu moteleko berres-
38
(t) = AJ(t)+ BJ(t - t1) (2.20)
(t) = iJ(t - ti )
ti =-
ti =t
(2.21)
t
tt1 t2
0 Je
t()
t( )
0
0
2.9 irudia.
Jokaera liskaelastikoa 39
kuratzea deritzo. Berreskuratze hau osoa izan daiteke edo baliteke, materialaren
liskaelastikotasuna medio, deformazio osoa ez berreskuratzea. Lehen kasua
berreskuratze elastikoa genuke, bigarrena, aldiz, liskaelastiko deitutakoa.
Polimero erretikulatu baten kasuan berreskuratze elastikoa gertatzen da.
Horrela, 2.9 irudian portaera honen laburpena azaltzen da. 0 tentsioa t2 denbora
nahikoa luzez aplikatu eta gero, deformazioa oreka-baliora heltzen da.
2.21 ekuazioa aplikatuz, fluxu moteleko berreskuratzearen eboluzioa honela idatz
daiteke:
Bestalde, tentsioa t denboran kentzen bada, non deformazioa ez den oraindik
orekara heldu, berreskuratzea honela adieraz daiteke:
Ekuazio hauek deformazio handietan, portaera elastiko ez-linealaren kasuan
alegia, bidegarritasuna galtzen dute eta espresio konplikatuagoak planteatzen dira.
Azter dezagun orain berreskuratze liskaelastikoa. Kasu honetan, aplikatutako
tentsio konstantepean deformazio-abiadurak muga-baliorantz jotzen du, non
liskatasunaren funtzio den fluxu-egoera egonkorra lor daitekeen. Kasu honetan ez
da inoiz oreka-konpliantzarik lortzen. 2.10 irudian portaera honetan gertatzen den
berreskuratzea azaltzen da.
Fluxu motela deformazio biren batura da: alde batetik 2.10 irudiko Je0-
-rekiko analogoa den 0 balio konstanterantz jotzen duen deformazioa eta
bestetik 0t/ fluxu liskatsuaren osagaia. Je oreka-konpliantza fluxu egonkorra
gertatzen den bitartean dagoen deformazio elastikoa da. Denbora nahikoa luzearen
ondoren (baina t2-an tentsioa kendu baino lehen) espresio honek ematen du
deformazioa:
t=t2 denean tentsioa kendu ondoren, berreskuratze liskaelastikoa zera da:
zeinek 0t2/ baliora jotzen duen.
Je
0
r (t) = 0 Je
0
+ t / - J(t - t2 )[ ] (2.26)
() = 0 Je (2.22)
(t) = 0 Je
0
+ t / ( ) (2.25)
r (t) = 0 Je - J(t - t2 )[ ] (2.23)
0
r (t) = 0 J(t) - J(t - t1)[ ] (2.24)
Kasu horretan ere tentsio altuko edo deformazio handiko saiakuntzetan
espresio konplikatuagoak planteatu behar izaten dira.
ERREFERENTZIAK
ERREFERENTZIA OROKORRAK
J.D. Ferry, Viscoelastic Properties of Polymers, John Wiley and Sons (1980).
(Kapitulu hau liburu honen lehen kapituluan oinarritzen da.)
ERREFERENTZIA BEREZIAK
1. J. Klein. Macromolecules, 11, 852 (1978).
2. J. Meissner. Pure and Appl. Chem., 42, 551 (1975).
3. W.P. Cox eta E.H. Merz, J. Polym. Sci., 28, 619 (1958).
4. B.D. Coleman eta W. Noll, Rev. Mod. Phys., 33, 239 (1961).
40
2.10 irudia.
(t)
(t)
0
t
0Je
t2
t
0t2/
0t2/
0Je
0
3. ERREOMETRIA. TEKNIKA ESPERIMENTALAK
Definitutako funtzio erreologikoak esperimentalki era fidagarrian neurtzeko
gaitasuna edukitzea funtsezko beharra dela argi dago. Funtzio erreologikoen
neurketak aztertzen dituen zientziaren atalari Erreometria deritzo. Neurketak ez
dira beti errazak ezta fidagarriak ere, askotan metodo ez-zuzenak edo oso zehatzak
ez diren hurbilketak erabiltzen direlako. Dena den, eta batez ere elektronikak
azken urteotan izan duen garapen handia dela eta, erreometriaren posibilitateak eta
aplikagarritasun-baldintzak izugarri zabaldu dira. Lehen erreometroen diseinua eta
martxan jartzea ikertzaile beraien eskuetan bazegoen ere, gaur egun hainbat
enpresa ari dira munduan zehar alor horretan lanean.
Argi dagoenez, fenomeno erreologikoen (konkretuki portaera liskae-
lastikoaren) ezagumendu sakona premiazko baldintza dugu edozein diseinu
planteatzerakoan. Kapitulu honetan aztertuko ditugun teknika desberdinetan
liskatasunari emango diogu premiazko garrantzia. Hau normala da, liskatasuna
baita praktikan material liskaelastikoen prozesaketan edo aplikazioan faktore
mugatzailea.
Liskatasuna neurtzeko fluxua behar dugu. Kapitulu honetan zehar fluxu
desberdinen azterketa egingo da.
3.1. ARAZOAREN PLANTEAMENDU OROKORRA
Edozein sistema aztertzeko hiru motatako egoera ekuazio orokorrak planteatu
ahal izango ditugu:
- Jarraitasun-ekuazioak, non masa-kontserbazioaren printzipioa aplikatzen
den (A eranskina).
- Bero-disipazioaren ekuazioak, non energiaren kontserbazioaren printzipioa
erabiltzen den.
- Ekuazio dinamikoak, non momentu zinetikoaren kontserbazioaren
printzipioa erabiltzen den (B eranskina).
Esan dugunez, kapitulu honetan fluxuen azterketan saiatuko gara, energi
fluxuak alde batera utziz. Fluxu horiek monodirekzionalak izango dira, hau da,
abiadura-bektoreak koordenatu sisteman osagai bakarra izango du. Horrela,
ekuazio dinamikoak fluxu-mota desberdinak aztertzeko abiapuntu izango dira.
Erreometria. Teknika Esperimentalak 41
Adibide bezala, erreometriaren eremuan zuzenean sartu baino lehen, kasu
konkretu bat aztertuko dugu; planu okertuaren adibidea hain zuzen (3.1 irudia).
Adibide honetan, bertikalarekiko angeluko plano oker batetik eta
grabitatearen eraginez isurtzen ari den fluxua izango dugu. Fluxu hau dela eta,
lodierako likido-geruzak planoa estaliko du. Fluxua jarraia denean eta egoera
egonkorrean emariak (Q) konstante iraungo du. Planteatu daitekeen arazoetariko
bat Q konkretu baten kasuan kalkulatzea izan daiteke. Beraz, mozte-fluxu
monodirekzionala eta egonkortua dugu.
Sistemaren simetria dela eta, koordenatu cartesiarrak erabiliko dira. Abia-
duraren osagaiak hauek
izango dira.
Mozte-fluxuak eragindako abiadura-gradientea
non muga-baldintza vz = 0 eta x = denean dugun.
Kasu honetan aplikatu beharreko ekuazio dinamikoa koordenatu carte-
siarretan eta z osagaian izango da, hori baita abiaduraren norabidea. Horrela,
42
3.1 irudia.
(vz, 0, 0) (3.1)
21 =
dvz
dx
(3.2)
x
y
z
vz
w
espresio hau gelditzen zaigu:
Grabitatearen Erreologia: Teoria eta praktika