1. Sarrera
1.1. KONTZEPTU OROKORRAK
Elastikotasunaren Teoria eta Materialen Erresistentzia gorputz deformagarrien portaera
ikasten duten zientziak dira. Bi jakintzagai horiek Mekanika izenaz ezagutzen den
irakasgaiaren barnean koka ditzakegu. Mekanikak gorputzen higidura ulertzeko balio
diguten tresnak eskaintzen dizkigu, eta arlo desberdin ugariz dago osatuta. Sarritan, atal
horien arteko muga definitzea ez da lan erraza izaten. Arlo horiek bata bestetik bereizteko
erabiltzen den oinarrizko irizpidea aztertutako partikula edo gorputzen izaera da. Dakigun
bezala, partikula bat dimentsiorik gabeko puntu material bat da. Partikula horietako zenbait
elkartuz gero, gorputz bat lortuko genuke. Horrela, likido eta gasen partikulak ikasten
dituen mekanikaren atalari "Fluidoen Mekanika" deritzo, eta gorputz zurrunak aztertzen
dituenari "Solidoen Mekanika". Elastikotasunaren Teoria eta Materialen Erresistentzia
azken talde horretan daude kokaturik.
Solidoak aztertzeko orduan, bi motatako solidoak desberdindu behar ditugu: zurrunak
eta deformagarriak. Solido deformagarriak itxura- edo forma-aldaketak jasan ditzaketen
gorputzak dira. Forma-aldaketa horiei deformazioak deritze. Alderantziz, solido zurrunek
ezin dezakete inolako itxura-aldaketarik eduki; hots, solido perfektuak direla suposatzen
da. Beste era batera esanda, solido zurrunek translazioak edo biraketak bakarrik eduki
ditzakete, eta horien puntuen arteko posizio erlatiboa inoiz ez da aldatzen. Halere, zehatzak
izan nahi badugu, solido guztiak dira deformagarriak, ez baitago zurruntasun infinitua duen
materialik. Hau da, deformatzen ez den solidorik ez da existitzen. Dena den, zenbait kasutan
solidoa zurruna dela onar dezakegu akats handirik egiteko beldurrik gabe. Esate baterako,
gorputz baten abiadura edo azelerazioak aztertu nahi ditugunean, ez dago gorputzaren
forma-aldaketa ikasi beharrik.
Elastikotasunaren Teoriak eta Materialen Erresistentziak, ordea, abiapuntu modura
solidoak deformagarriak direla onartzen dute beti, eta, beraz, solido deformagarrien meka-
nikari dagokion irakasgai bat da. Ondorioz, liburu honetan gorputzaren higidurak ez du
garrantzirik edukiko, eta alde batera utziko dugu. Izan ere, aztertuko ditugun egiturak
orekan --hau da, geldirik-- dauden sistemak izango dira.
1.2. ELASTIKOTASUNAREN TEORIA ETA MATERIALEN
ERRESISTENTZIA
Elastikotasunaren Teoriaren eta Materialen Erresistentziaren helburuak berdinak diren
arren, bien artean desberdintasun garrantzitsuak daude. Ikus ditzagun, labur bada ere, bi
jakintzagai horien berezitasun azpimarragarrienak.
Elastikotasunaren Teoriak gorputz elastikoak aztertzen ditu, hots, indarrak desagertu
eta gero hasierako itxura eta neurriak berreskuratzen dituztenak. Gorputz horietako
puntuetan, kanpotik eragiten duten akzioen eta gorputzaren erantzunaren artean dagoen
erlazioa matematikoki formulatzen du. Elastikotasunaren Teoriak lortzen dituen ondorioak
orokorrak dira eta edozein forma duten gorputzen kalkulurako aplika daitezke. Liburu
honetan Elastikotasunaren Teoriaren oinarrizko kontzeptuak baino ez ditugu agertuko, eta
portaera lineala duten kasuetara mugatuko gara. Ikusiko dugun bezala, Elastikotasunaren
Teoriaren formulazio matematikoak oso konplexuak dira eta gutxitan lor daitezke soluzio
esplizituak; eta metodo numerikoak erabili behar dira, planteatzen dituen ekuazioak askatu
ahal izateko.
Materialen Erresistentziak, aldiz, gorputz guztientzat orokorrak diren emaitzak
lortzen saiatu ordez, egituretan sarrien erabiltzen diren elementuak bakarrik ikasten ditu.
Hau da, elementu tipikoak aztertzen ditu. Elementu horien geometria nahiko sinplea izaten
da eta, horretaz baliatuz, analisia errazten duten hipotesi sinplifikatzaileak erabil daitezke,
eta soluzioa Elastikotasunaren Teoriaren bidez baino azkarrago lor daiteke. Dudarik gabe,
Materialen Erresistentziaren bidez lortzen den soluzioa ez da Elastikotasunaren Teoriak
eskaintzen duena bezain zehatza. Halere, hurrengo atal batean azalduko ditugun elementu
tipikoen kasuan, Materialen Erresistentzia aplikatuz lor daitezkeen emaitzak zeharo onar-
garriak dira, egindako akatsa arbuiagarria izanik.
Bi jakintzagai horien artean bada beste desberdintasun garrantzitsu bat ere. Elastiko-
tasunaren Teoria, izenak aditzera ematen duen bezala, gorputz elastikoen analisira muga-
tzen da. Materialen Erresistentziak, aldiz, portaera elastikoa galdu duten egituren analisia
egin dezake. Portaera plastikoa aztertzen duten jakintzagaiei plastikotasuna eta biskoelas-
tikotasuna deritze. Halere, Elastikotasunaren Teoriaren desabantailarik handiena erabiltzen
dituen formulazioen konplexutasuna da. Izan ere, gorputzeko puntu bakoitzean planteatzen
dituen ekuazioak zeharo orokorrak diren arren, gutxitan aska daitezke soluzio esplizitua
lortzeko, egitura oso sinpleak izan ezean. Dena den, Elastikotasunaren Teoria ez da baz-
tertu behar, horrek argituko dizkigulako Materialen Erresistentzian erabiliko ditugun oina-
rrizko kontzeptu eta magnitudeak. Gainera, Elastikotasunaren Teoriaren bidez Materialen
Erresistentzian lortutako emaitzen zehaztasuna neur daiteke, egindako hurbilketak egokiak
diren jakin ahal izateko.
Gaur egun, konputagailuek azken urteotan ezagutu duten bilakaera sakona dela-eta,
Elastikotasunaren Teoriak planteatutako ekuazioak numerikoki ebatz daitezke, eta horrela
geometria eta mugako baldintza konplexuak dituzten problementzat ere soluzioak lor dai-
tezke. Era horretan, Elastikotasunaren Teoria eta Materialen Erresistentzia garai batean
baino bateratuago daudela esan dezakegu.
12 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentzia
1.3. EGITUREN DISEINUA
Gorago aipatu dugun bezala, liburu honetan aurkezten diren jakintzagaien helburua
egiturak diseinatu eta kalkulatzeko balioko diguten tresnak eskaintzea da. Egitura elementu
desberdinen bidez osatutako edozein sistema da, kanpotik eragiten dioten indarrak euste-
ko gai dena. Aulkiak, mahaiak, zuhaitzak, hegazkinak, armiarma-sareak eta abar egiturak
dira.
Zentzuzko diseinuak egin ahal izateko, beharrezkoa da materialen portaera ongi
ezagutzea. Hori dela-eta, Materialen Erresistentzia eta Elastikotasunaren Teoria oinarrizko
irakasgaiak dira ingeniaritzako alor askotan. Liburu honetan zehar materialen portaera
ulertzeko balioko diguten formulak eta ekuazioak aurkeztuko ditugu.
Ingeniariek eta arkitektoek zeresan eta erantzukizun handia daukate egituren
diseinuan. Egiturak mota askotakoak eta oso desberdinak izan daitezkeen arren (zubiak,
itsasontziak, etxebizitzak, urtegiak, etab.), badira guztientzat berdinak diren zenbait ezau-
garri. Esate baterako, lehen izendatu ditugun egitura guztiak gizakien behar desberdinak
betetzeko pentsatuta daude. Arestian aurreratu dugun bezala, egitura guztien beste betebehar
bat kanpoko eraginei aurre egitea da, behera etorri gabe. Eutsi behar dieten indar horien
artean, haizearen presioa, elurraren pisua, uraren bultzada, automobilen pisua eta abar aipa
ditzakegu. Horiez gain, egiturak kanpoko eragin desberdin ugari jasan ditzake, adibidez,
tenperatura-aldaketen eragina, euskarrien ustekabeko mugimenduak, muntaian egindako
akatsek sortutakoak, etab. Eragin horiek guztiak sinbolikoki eta zenbait hurbilketa egin
ondoren adieraziko ditugu. Izan ere, suposatutako indarren zehaztasunak eragin ikaragarria
izan dezake azken emaitzan eta, beraz, kontu handiarekin aztertu behar dira indarrak.
Egituretan parte hartzen duten aldagaien kopurua oso handia denez, egitura bat
diseinatzeko orduan jarraitu behar den lehenengo pausoa modelo matematiko sinplifikatu
bat lortzea da, benetan garrantzitsuak diren aldagaiak kontuan hartuz. Ondoren, modelo
matematiko horri hurrengo gaietan ikusiko ditugun ekuazio eta erlazio matematikoak
aplikatuko dizkiogu. Kalkuluak egiten hasi aurretik aurredimentsionatzea egin behar da,
hau da, behin-behineko neurri batzuk aukeratu behar ditugu abiapuntu modura. Ondoren,
Elastikotasunaren Teoriaren eta Materialen Erresistentziaren bidez egituraren erantzuna
kalkula daiteke, hau da, kanpoko eraginen ondorioz gorputzeko puntuetan agertzen diren
tentsio eta deformazioen balioak lor daitezke. Balio horiek onargarriak ez badira, elemen-
tuaren diseinua aldatu beharko dugu, eta prozesua berriro errepikatu, diseinu egokia lortu
arte. Egituren diseinua, beraz, iterazio-prozesu bat da.
Datozen kapituluetan ikusiko dugun bezala, egiturak oinarrizko baldintza batzuk bete
behar ditu onargarria izateko. Alde batetik, egiturak erresistentzia egokia eduki behar du,
hau da, kanpoko kargei hautsi gabe eutsi behar die. Ez da hau, halere, egiturak bete behar
duen baldintza bakarra. Hautsi gabe irauteaz gain, egiturak zurruntasun egokia eduki behar
du, hots, kanpoko indarrei gehiegizko deformaziorik jasan gabe eutsi behar die. Izan ere,
egitura bat hautsi ez arren, deformazioak handiegiak badira, egitura onartezina bihur
daiteke. Azkenik, egitura egonkorra izan behar da, hau da, ezin eduki ditzake ustekabeko
deformazio nabarmenak. Azken baldintza hau gilbordura izeneko fenomenoarekin erlazio-
natuta dago, azken kapituluan ikusiko dugun bezala. Bukatzeko, ez da ahaztu behar egitura
Sarrera 13
bat egokia den ala ez erabakitzeko orduan, erresistentziaz edo zurruntasunaz gain beste
hainbat baldintza ere kontuan hartu behar direla, adibidez, ekonomikoak eta estetikoak.
1.4. EGITURETAKO ELEMENTU ARRUNTAK
Egituren funtsezko helburua, beraz, jasaten dituzten indarrei aurre egitea da. Esate
baterako, etxebizitza batean eragiten duen haizearen indarra edo elurraren pisua egituraren
oinarrietara transmititu beharra dago. Gauza bera esan daiteke zubi baten gainetik igarotzen
diren beribilek eragiten duten pisuaz. Indar horiek egituran zehar transmititzen dira
oinarriko euskarrietara iritsi arte, eta transmititzeko modua egituraren geometriaren menpe
dago. Egiturek forma eta itxura oso desberdinak eduki ditzakete eta hemen guztiak
izendatzea ezinezkoa izango litzateke. Halere, egitura gehienak elementu gutxi batzuk
konbinatuz lor daitezke. Egituretan sarritan agertzen diren elementu tipiko horiek dira, hain
zuzen, Materialen Erresistentziak aztertzen dituenak. Elementu arrunt horien portaera
ezagutuz gero, egitura ugari kalkulatzeko gai izango gara.
Elementu horiek hiru taldetan sailka daitezke: pieza prismatikoak, xaflak eta oskolak.
Gorputz horiek dituzten berezitasun geometrikoei esker, kalkulua asko errazten duten
hurbilketak eta hipotesi sinplifikatzaileak egin ditzakegu. Ikus ditzagun laburki hiru
elementu horien ezaugarriak.
Pieza prismatikoak luzera handia daukaten piezak dira, zeharkako sekzioaren
neurriekin alderatuz. Hau da, dimentsio bat beste biak baino askoz handiago da. Elementu
horiek maiz agertzen dira egituretan (habeak, zutabeak, ardatzak etab.), eta hiruretatik
garrantzitsuenak direla esan dezakegu. Bestetik, xaflak lodiera txikiko elementu lauak dira.
Beste era batera esanda, dimentsio bat beste biak baino askoz txikiagoa da. Pieza
prismatikoen bi dimentsiotako kasua direla esan daiteke. Xaflak ere sarritan erabiltzen
diren elementuak dira, adibidez, eraikuntzetako solairuak egiteko. Azkenik, oskolak ere
lodiera txikia duten elementuak dira, baina ez dira lauak izaten xaflak bezala. Bien artean
dagoen diferentzia oskolek duten kurbadura da. Hori dela-eta, xaflek eta oskolek lan
egiteko duten era oso desberdina da. Oskolak lamina hitzarekin ere ezagutzen dira.
Oskolen adibide dira ur- eta gas-biltegiak, elizetako kupulak, ontzi-kroskoak, etab.
Hiruretatik garrantzitsuena eta gehien erabiltzen dena pieza prismatikoa dela esan
dezakegu. Hori dela-eta, liburu honetan Materialen Erresistentziari eskainitako gaietan
pieza prismatikoak eta horiekin osatutako egiturak baino ez ditugu aztertuko. Salbuespen
gisa oskolen kalkulurako oinarrizko arau batzuk ere ikusiko ditugu, presiopean dauden
horma meheko ontzien analisia egiteko balioko digutenak. Analizatu beharreko elementua
hiru talde horietakoren batean sailkatu ezin daitekeenean, ezingo dugu Materialen Erre-
sistentzia erabili, eta Elastikotasunaren Teoria aplikatu beharko dugu.
1.5. EGITURETAKO MATERIALAK
Egitura batek kanpoko kargei eusteko duen gaitasuna, erabilitako materialen menpe dago
neurri handi batean. Lehen esandakoaren hariari helduz, materialen ezaugarri garran-
tzitsuenak erresistentzia eta zurruntasuna dira. Ez dago dudarik ingeniaritzako aplikazio
gehienetan erresistentzia handiko materialak erabiltzea komeni dela. Altzairua sarrien
14 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentzia
erabiltzen den materiala da, erresistentzia altua duelako eta portaera oso antzekoa trakzio-
pean nahiz konpresiopean. Beste material batzuk, ordea, harriak edo hormigoiak adibidez,
konpresiopean erresistentzia egokia duten arren, oso ahulak dira trakziopean.
Egiturek beren pisu propioa ere jasan behar dutenez, materialen erresistentziaren eta
dentsitatearen arteko erlazioa oso adierazgarria da, eta erabakigarria gerta liteke zenbait
kasutan. Hegazkinen kasuan, adibidez, erlazio horrek garrantzi handia du, hegazkina ahalik
eta arinena izatea komeni baita. Hori dela-eta, hegazkinetan aluminioa edo titanioa be-
zalako materialak erabiltzen dira, altzairuaren antzeko erresistentzia baina pisu askoz
txikiagoa dutelako.
Erresistentziaz gain, materialak zurruntasun egokia eduki behar du, hau da, ezin
ditzake deformazio handiegiak izan kanpoko indarrek eragiten dutenean. Kautxua, adi-
bidez, ez da etxebizitzak egiteko material egokia. Kontuan hartu behar da, gainera, egitura
bat behera etorri ez arren, jasaten dituen deformazioak handiegiak badira, buruhauste
handiak ekar ditzakeela. Izan ere, etxebizitza bateko habeen deformazioa handiegia bada,
pitzadurak ager daitezke solairuetako hormetan eta zoruan, onartezina dena.
Eraikuntzako materialek eduki behar duten beste propietate bat elastikotasuna da.
Indarrak desagertu ondoren materialek hasierako forma berreskuratzeko duten gaitasunari
elastikotasuna deritzo. Kontuan hartu behar da, egitura askotan indarrak ez direla konstan-
teak izaten, agertu eta desagertu egiten direla. Indar horiek sortzen dituzten deformazioak
metatuz joango balira, denbora laburrean deformazio onartezinak sortuko lirateke. Alde-
rantziz, egituraren portaera elastikoa bada, indarrek sortzen dituzten deformazioak desagertu
egiten dira indarrak aplikatzeari utzi ondoren. Altzairua, egurra edo hormigoia bezalako
materialek portaera elastikoa agertzen dute aplikatutako indarrak muga baten azpitik
daudenean.
Material guztiak lehenago edo beranduago hautsi egiten diren arren, hausteko duten
era oso desberdina izan daiteke. Harikorrak deritzen materialek deformazio handiak
jasaten dituzte hautsi baino lehen. Altzairua, aluminioa eta metal gehienak harikorrak dira.
Alderantziz, material hauskorrak bat-batean apurtzen dira, ia deformaziorik jasan gabe.
Harria edo hormigoia bezalako materialak hauskorrak dira. Gehienetan material harikorrak
hauskorrak baino komenigarriagoak izaten dira, hautsi baino lehen asko deformatzen
direlako, hutsegitea gertu dagoela ohartaraziz.
Esandakoaren arabera, material guztiek desabantailak dauzkatela ondoriozta daiteke.
Hori dela-eta, maiz material desberdinak nahasten dira, desabantaila horiek gainditu ahal
izateko. Arestian aipatu dugun bezala, hormigoia ahula da trakziopean, baina konpresio-
erresistentzia altua du. Gainera, erakargarria egiten duten zenbait ezaugarri dauzka: ez da
erretzen, beste material batzuekin konparatuz nahiko merkea da, eta forma desberdin asko-
tako elementuak eraiki daitezke. Eta trakziopean duen erresistentzia handitzeko, altzai-
ruzko barrak sartzen zaizkio, hormigoi armatua deitzen dena lortuz. Gaur egun erabiltzen
diren material berri asko hormigoi armatuaren printzipio berean oinarritzen dira, material
konposatuak kasu. Material konposatu gehienek plastikozko oinarri bat edukitzen dute,
beirazko zuntzen bidez zurruntzen dena. Horrela, aldi berean plastikoaren malgutasuna eta
zuntzen erresistentzia dituen materiala lortzen da.
Sarrera 15
1.6. OINARRIZKO HIPOTESIAK
Liburu honetan zehar aztertuko ditugun gorputzek oinarrizko hipotesi batzuk betetzen
dituztela onartuko dugu. Hipotesiak honako hauek dira: jarraitutasuna, homogeneotasuna
eta isotropia. Horrez gain, deformazioak txikiak direla suposatuko dugu.
Gorputz bati dagokion bolumen guztia materiaz beteta dagoenean, gorputza jarraitua
dela esaten da. Beste hitz batzuetan esanik, maila mikroskopikoan topatuko genukeen egi-
tura atomiko erreala ez da kontuan hartzen. Era berean, materialak akatsik ez duela onar-
tuko dugu (pitzadurak, burbuilak, hutsuneak etab.). Hipotesi hori betetzen dela onartzeak
kalkulu infinitesimala aplikatzeko aukera emango digu. Izan ere, gorputz jarraituen pro-
pietateak eta portaera definitzen duten funtzioak ere jarraituak izango dira. Halaber,
aztertuko ditugun gorputzak homogeneoak direla suposatuko dugu, hots, puntu guztietako
propietateak berdinak direla. Azkenik, puntu bateko propietateak norabide guztietan
berdinak direnean, materiala isotropoa dela esaten da.
Material errealak perfektuak ez direnez, goian aipatutako baldintzak gutxitan betetzen
dira. Altzairu-puska bati mikroskopio baten laguntzaz so eginez gero, kristal desberdin
ugariz osatuta dagoela ikusiko genuke, eta kristal horietako bakoitzaren portaera ez dela
isotropoa. Hormigoi-zati bat aztertuz gero, antzeko irudia edukiko genuke. Halere, hipotesi
horiek betetzen direla onartuz lortzen diren emaitzak bat datoz saiakuntza esperimentalen
bidez lortzen direnekin. Izan ere, kristal horien kopurua ikaragarri handia da, eta bakoitza-
ren norabidea, aleatorioa. Ondorioz, kristal bakoitzaren portaera isotropoa izan ez arren,
maila makroskopikoan agerian gelditzen den portaera isotropoa da. Gainera, lehen aipatu-
tako hipotesiak onartzeak asko erraztuko dizkigu kalkuluak. Dena den, kontu handiarekin
ibili behar da hiru hipotesietako bat ez dela betetzen oso nabaria denean, zeren kasu horre-
tan hemen ikusiko ditugun zenbait espresio eta formula alferrikakoak bihur baitaitezke.
Bukatzeko, aztertuko ditugun egituren deformazioak txikiak direla suposatuko dugu.
Hipotesi hau benetako gorputz askotan betetzen da, egiturak diseinatzen direnean bilatzen
den helburuetako bat zurruntasun egokia lortzea delako. Hau da, egitura erreal askotan ez
da alde handirik egoten hasierako geometriaren eta bukaerakoaren artean, eta itxura oso
antzekoa edukitzen dute. Deformazioak gehienetan txikiak izaten direla ulertzeko, nahikoa
da etxebizitza bati edo zubi bati so egitea. Kasu horietan egiturak jasaten duen deformazioa
ia sumaezina izaten da. Hipotesi hori oso garrantzitsua da, datozen gaietan ikusiko dugun
bezala.
1.7. LIBURUAREN EDUKIA
Liburu honen lehen zatia Elastikotasunaren Teoriari eskainita dago. Kapitulu edo gai ho-
rietan zehar materialen portaera ulertzeko oinarrizkoak diren magnitudeak ikusiko ditugu.
Bigarren gaian tentsio kontzeptua eta indarren orekarekin erlazionatutako ekuazioak aur-
kezten dira. Ondoren, hirugarren gaian puntu bateko deformazio-egoera nola defini daite-
keen azaltzen da. Tentsioak eta deformazioak aztertu ondoren, laugarren gaian portaera-
legeak nola lor daitezkeen ikusiko dugu. Bosgarren gaian portaera elastikoa duten gorputzen
erantzuna kalkulatzeko erabili behar den ekuazio-sistemara iritsiko gara, eta sistema hori
ebazteko metodo batzuk deskribatuko ditugu. Elastikotasunaren Teoriaren inguruko gaiak
16 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentzia
bukatzeko, seigarrenean hutsegite-teoria garrantzitsuenak azalduko dira, materialen haus-
tura edo isurpena noiz gertatzen diren aurresateko balio dutenak.
Ondoren, Materialen Erresistentziarekin hasiko gara. Zazpigarren gaian pieza prisma-
tikoaren berezitasunak aurkeztu eta gero, hurrengo ataletan sekzioko esfortzu desberdinak
analizatuko ditugu banaka-banaka. Lehenik eta behin, zortzigarren gaian ardatzeko indarrak
sortzen dituen tentsio eta deformazioak nola kalkulatzen diren ikusiko dugu. Bederatziga-
rren gaian, momentu makurtzailearen ondorioz agertzen diren tentsioen kalkulua aztertzen
da, eta hamargarrenean, makurdurapean dauden pieza prismatikoen deformazioa. Momentu
makurtzaileak sortutako tentsio eta deformazioak kalkulatzen ikasi eta gero, hamaikagarren
gaian egitura hiperestatikoak deskribatzen dira. Azkenik, pieza prismatikoetan eragin
dezaketen esfortzuekin bukatzeko, hamabigarren gaian momentu bihurtzailea azalduko
dugu. Egituren kalkuluan daukaten garrantzia dela-eta, hamahirugarren gaia teorema ener-
getikoei eskainita dago, eta bertan printzipio eta teorema garrantzitsuenak ondorioztatzen
dira. Liburua bukatzeko, hamalaugarren kapituluan zutabeen gilbordura ikasten da.
Sarrera 17Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentzia