1. Lege finantziario klasikoak
1.1. EREDU MATEMATIKOEN SARRERA
Matematika finantzarioa
Gertakari finantzarioen azterketa oinarritzat duen matematika aplikatuaren
zatia da. Gertakari finantzarioa, aldiz, epemuga desberdina duten kapitalen arteko
truke moduan defini daiteke.
Portaera-arau gisa, gizaki orok orainaldiko beharrizanen aurrean Etorkizune-
ko Beharrizanen Gutxiespenaren Legea jarraitzen dutenez, beharrezkoa izango zai-
gu kapitalen eraginkortasun-unea finkatzea. Hau da, ondasun baten balioa handitu
egiten da bere erabilgarritasun-unea hurbiltzen den heinean, eta, beraz, denbora
ekonomia-ondasun negatibo gisa defini dezakegu. Hemendik sortzen da kapitalaren
balioa betiere erabilgarritasun edo epemugaren unearekin batera adierazteko
beharra. Lotura berri honi finantza kapitala deritzogu.
Finantza kapitala
Ekonomia ondasun baten balioa edo neurria da, ondasun horren erabilgarri-
tasun-unean edo epemugan. Ikusten dugunez, finantza-kapitala bi dimentsioz
osaturiko aldagaia da, batetik kapitalaren balio monetarioa hartzen baitu kontuan,
eta bestetik kapitalaren erabilgarritasun-unea edo epemuga. Finantza-kapitala
honela adierazten da: (C, t)
C: ekonomia-ondasunaren moneta-balioa.
t: erabilgarritasun-unea edo epemuga.
Finantza-eragiketa
Definizio orokorra honako hau litzateke: finantza-kapitalen trukea baliokide-
tasun-irizpide bati jarraituz; baina aurrerago ikusiko dugunez, komenigarriagoa
litzaiguke definizioa gehiago zehaztea eta, beraz, finantza-eragiketa bat aurrez
finkaturiko baliokidetasun-irizpide bati jarraituz, une mugatu batean epemuga
duen kapital bat, beste une desberdin batean epemuga duen kapital batez trukatzea
dela esaten da. Bigarren definizio hori ere ez litzateke guztiz osoa izango, finantza-
-eragiketa bat kapital-multzoen trukea ere izan baitaiteke.
Lehenengo kapitala erabilgarri dagoenean jaiotzen da finantza-eragiketa, eta
azkenaren epemugaz amaitzen. Hasierako eta bukaerako uneen artean iragandako
denborari finantza-eragiketaren iraupena deritzo. Finantza-eragiketa orotan, bi
alde desberdinduko ditugu: hasieran kapitala ematen duen pertsona, hartzekoduna,
eta horrek duen konpromisoari ematea (prestazioa) esaten zaio; eta bestalde,
hasieran kapitala jasotzen duen pertsona, zorduna, eta horren konpromisoa, aldiz,
ordain-ematea (kontraprestazioa) izenarekin ezagutuko dugu.
Finantza-eragiketa baten elementuak.
Elementu pertsonalak:
· Mailegu-emailea edo hartzekoduna: kapitala/k ematen duen/dituen pertsona.
· Mailegu-hartzailea edo zorduna: kapitala/k jasotzen duena/dituena.
Denbora-elementuak:
· Jatorria: lehenengo kapitalaren epemugarekin bat dator.
· Amaiera: azken kapitalaren epemugarekin bat dator.
Elementu formalak:
· Ezaugarri ekonomikoak: ematea eta ordain-ematea, hau da, bi aldeen
konpromisoak definitzen dituztenak.
· Ezaugarri teknikoak, eragiketa barruan finkaturiko ezaugarriak: lege
matematikoa, interes-tasa, gastuak, komisioak, etab.
· Ezaugarri osagarriak: eragiketaren kontratuan barneratzen diren beste zen-
bait ezaugarri; horrela, eragiketa xehetasun handiagoz deskribatzea lortzen
da.
Eragiketa finantzarioen sailkapena.
1. Aldeen konpromiso-banaketaren arabera, eragiketa bakunak eta konposa-
tuak bereiz daitezke. Ematea eta ordain-ematea kapital bakar batez osatuta
daudenean, eragiketa bakuna izango da. Beste edozein kasutan, eragiketa
konposatua izango da.
2. Eragiketan azaltzen diren kapitalen ziurtasun-mailaren arabera, eragiketa
ziurrak eta ziurgabeak edo zorizkoak bereiz ditzakegu. Eragiketan parte
hartzen duten kapital guztien moneta-balioa eta epemuga ezagunak direnean
12 Inbertsio-proiektuen azterketa eta balorazioa herri-erakundeetan
eragiketa ziurra dela esango dugu. Gutxienez kapital batean parame-
troetako bat ezezaguna den kasuan, zorizko eragiketa izango litzateke.
3. Iraupenaren arabera, epe laburrekoak eta epe luzekoak bereizten dira. Urte
bat baino gutxiago irauten duten eragiketak epe laburrekoak izango dira,
eta gehiago irauten dutenak, aldiz, epe luzekoak.
4. Eragiketan parte hartzen duen legearen arabera, kapitalizazio edo deskontu
motako eragiketak bereizten dira.
5. Eragiketaren kreditu-zentzuaren (noranzkoa) arabera, aldebakarreko kre-
ditu-eragiketak eta elkarrekiko kreditu-eragiketak bereiz daitezke. Alde
bakarreko kreditu-eragiketetan, hasierako hartzekodunak eragiketa osoan
zehar izaera hori (hartzekodun) mantentzen du. Elkarrekiko kreditu eragi-
ketetan, aldiz, ez da horrela gertatzen; hau da, parte-hartzaileen izaera
aldatzen doa.
Finantza-eragiketa bat definitzeko unean, eragiketan parte hartzen duten bi
aldeek aurrez zehazturiko baliokidetasun-irizpide bat aipatu dugu. Baliokidetasun-
-irizpidearen ideia grafikoki nahiz adierazpen matematiko baten bidez azal daiteke,
adierazpen matematiko honi finantza-legea deritzo. Lehenik, ideia hori grafikoki
azaltzeko finantza-proiekzioaren irizpidea aztertuko dugu, eta ondoren, irizpide
hori adierazpen matematiko bilakatuko.
Finantza-proiekzioaren bidez, hauxe lor dezakegu:
1. (C, t) kapital ezagunaren baliokidea aurkitu desiraturiko p denbora-pun-
tuan.
Proip (C, t) = v
(C, t) ~ (v, p)
Lege finantziario klasikoak 13
p
v
C
0 t
(C; t)
2. Epemuga desberdina duten bi edo kapital gehiago emanik, desiratutako
beste denbora-puntu batean baliokideak diren edo ez aztertu.
3. Epemuga desberdineko bi edo kapital gehiago izanik, beren arteko lehen-
tasun-ordena aurkitu.
v2 > v1 > v3
4. Finantza-eragiketaren une zehatz batean, finantza-saldoa edo erreserba
matematikoa kalkulatu.
Finantza-eragiketa guztiek bete beharreko funtsezko printzipioa finantza-
oreka da. Hau da, emateak eta ordain-emateak baliokide izan behar dute,
eragiketan parte hartzen duten aldeek hitzarturiko baldintzen arabera
(baliokidetasun-irizpidea). Adibidez:
proi C t
proi C t
proi C t
p
p
p
1 1 1
2 2 2
3 3 3
,
,
,
( )=
( )=
( )=
p
v2
v1
C2
C
0 t1 p t2
C1
C2
p
v
C
0 t1 p t2
C1
14 Inbertsio-proiektuen azterketa eta balorazioa herri-erakundeetan
C
t1 p t2 t3
v3
C2
v2
v2
C2
0
C1
proi C t
C t C t
proi C t
p
p
1 1
1 1 2 2
2 2
,
, ,
,
( )=
( ) ( )
( )=
~
proi C t
proi C t C t C t
p
p
1 1 1 2
2 2 1 1 2 2
,
, , ,
( )=
( )= ( ) ( )
1
2 ~
1
Ematea:
Ordain-ematea:
Funtsezko printzipio horri jarraiki kalkulatu dira kapital hauek. Demagun
orain, iraupen-tarte horretako barne-puntu batean (x) kokatzen garela eta ordura
arte gutxien ordaindu duen aldeak eragiketa kitatu ahal izateko ordaindu beharko
lukeen kapitala neurtu nahi dugula, hau da, eragiketaren finantza-saldoa edo
erreserba matematikoa kalkulatu nahi dugula puntu horretan. Kasu honetan,
diagrama honela geratuko litzateke:
Finantza-orekak esaten digunaren arabera, eragiketaren edozein unetan ematen
diren kapitalen baturak eta ordain modura ematen diren kapitalen baturak berdina
izan behar dute.
Oharra: EKB = Emandako Kapitalen Balioa.
OKB = Ordain modura Emandako Kapitalen Balioa.
Erreserba matematiko hau kalkulatzeko metodo bat baino gehiago izango
ditugu, besteak beste: atzera begirakoa eta aurrera begirakoa.
Atzera begirako metodoa: finantza-eragiketan une horretara arte emandako
eta ordain modura emandako kapitalak kontuan izanik, eragiketa kitatzeko ordain-
du beharreko kapitala.
Aurrera begirako metodoa: kalkulua egiten ari garen une horretan oraindik
emateko eta ordain modura emateko geratzen diren kapitalak izaten ditu kontuan.
EKB OKB =
1C
1t ¢t1
¢C1
2t ¢t2
¢C2
2C 3C
3t
1C
1t ¢t1
¢C1
2t ¢t2
¢C2
2C 3C
3t
( , );( , ) { }C t C t1 1 2 2
( );( , );( , ),C t C t C t1 1 2 2 3 3{ }
Lege finantziario klasikoak 15
x
RX
×
Finantza-legeak: kapitalizazio- eta deskontu-legeak
Proiekzio-irizpidea, kapital baliokideak aurkitzeko, kapitalen arteko konpara-
zioak burutzeko eta finantza-saldoak kalkulatzeko baliagarri zaigula ikusi dugu,
baina lan grafiko hori gorpuztu egiten da desplazamendu horiek burutzen lagun-
duko gaituen eredu matematiko edo formula bat erabiliz. Konkretuki, adierazpen
matematiko hori izango da finantza-legea, eta honako modu honetan adieraziko da:
F(C, t, p)
t < p denean, finantza-legea kapitalizazio-legea izango da eta funtzioaren F
hizkiaren ordez L hizkia adierazten da.
t > p denean, finantza-legea deskontu-legea izango da. Kasu honetan, F
hizkiaren ordez, A hizkia erabili ohi da.
Grafikoki:
KAPITALIZAZIO-LEGEA DESKONTU-LEGEA
1.2. KAPITALIZAZIO BAKUNAREN LEGEA
Legearen printzipioa
Sortzen dituen interesak ez dira produktiboak; hori horrela izanik, ekitaldi
batean sortzen diren interesak ez zaizkio hasierako kapitalari gehitzen interes
berriak sortzeko. Hori dela eta, lehenengo ekitaldian sortzen diren interesak
konstante mantenduko dira ondorengo ekitaldietan zehar, eta ondorengo edozein
ekitalditan sorturiko interesen berdinak izango dira.
Oro har, epe laburreko eragiketetan erabili ohi da.
p
v
C
0 t
(C; t)
t
(C, t)
C
0 p
v
Baldin ( ) Baldin ( )
proi C t F C t p
p t L C, t, p p t A C, t, p
p ( , ) ( , , )=
> = < =
16 Inbertsio-proiektuen azterketa eta balorazioa herri-erakundeetan
=
Legearen osagaiak
C0 = hasierako kapitala
Cn = bukaerako kapitala
I = eragiketan sortutako interesak
i = interes-tasa edo korritua, kapital-unitate batek denbora-unitate batean jasaten
duen gehikuntza. Ehunekotan ematen da.
n = kapitalizazioaren aldi-kopurua.
Eredu matematikoaren lorpena
Irudikapen grafikoa
Grafikoan ikusten den bezala:
Ekitaldia
Interesak sortzen
dituen kapitala
Ekitaldian sorturiko
interes osoa
Ekitaldiaren amaierako
kapitala
0 -------- 1
0C
1 -------- 2
0C
2 -------- 3
0C
n 1 ------- n 0
C
ittL +=1)(
( )I1
I2
I3
I4
C
C0
0 1 2 3 4 t
=1I lehenengo ekitaldiko interes osoa
=2I bigarren ekitaldiko interes osoa
=nI azken ekitaldiko interes osoa
iCIII n ==== 021 ...
0 1 2 3 4....................................... n
C0 Cn
2I1I
Lege finantziario klasikoak 17
n
...
I1 = Co . i C1 = C0 + I1 = C0
. (1 + i)
I2 = Co . i C2 = C1 + I2 = C0
. (1 + 2 . i)
I3 = Co . i C3 = C2 + I3 = C0
. (1 + 3 . i)
In = Co . i Cn = Cn1 + In = C0
. (1 + n . i)
Horren ondorioz, Kapitalizazio Bakunaren Legea:
Cn = C0
. (1 + n . i)
Adibidea: herri-erekunde batek 10.000 euro inbertitu ditu, noiz lortuko du
10.800 euroko kopurua, inbertsio horretan urteko %10eko interes-tasa bakuna lortu
duela jakinik?
n = 9 hilabete eta 18 egun
Lege honen kapitalizazio biderkatzailea, beraz, (1 + n · i) da eta kontuan izan
beharko dugu bertan azaltzen zaizkigun n eta i aldagaiak unitate beretan emanak
izan behar dutela formula berean.
Horren ondorioz, bi kasu desberdinen aurrean egon gaitezke:
· Eragiketa batean, datu gisa urteko interes-tasa izanik, epea hilabetetan edo
egunetan emana datorkigu; horren ondorioz, kapitalizazio biderkatzaileak
ondoko aldaketetako bat jasan beharko luke:
i urtekoa eta iraupena m hilabetekoa
i urtekoa eta iraupena h egunekoa*
i urtekoa eta iraupena n urtekoa, m hilabetekoa eta h egunekoa
1
12 360
+ + +
n
m h
i
1
360
+
h
i
1
12
+
m
i
C C i
C C n i . . ( n , )
n urte
n
n
0
0
10 000 10 800 10
1 10 800 10 000 1 0 1
0 8 0 8 12 9 6
0 6 30 18
= = =
= + = +
= =
=
. . %
( )
, , ,
,
;
hilabete
egun
18 Inbertsio-proiektuen azterketa eta balorazioa herri-erakundeetan
(1 + n . 0,1)
* Datu gisa urte zibila (365 egun) edo merkataritza-urtea (360 egun) har dezakegu; ondorioz,
darabilgun interesa ere "interes zibila" edo "merkataritza-interesa" moduan bereiziko dira.
Adibidea: zenbateko kapitala lortuko dugu 4 hilabete eta 8 egun barru, gaur
100.000 euro inbertituz gero, urteko %5eko interes-tasa bakuna ziurtatzen digun
aktibo batean?
· Eragiketa batean, datu gisa zatikako interes-tasa azaltzen denean:
Kalkulurako dugun interes-tasa zatikakoa dela diogu, urte batean m aldiz
kapitalizatzen edo bihurtzen denean, hau da:
Kapitalizazio biderkatzailea:
Adibidea: kalkula ezazu hiru urte barru lortuko dugun zenbatekoa, gaur
50.000 euro inbertitu ditugula eta seihileko %2ko interes-tasa eskaini digutela
jakinik.
Interes-tasa baliokideak: bi interes-tasa baliokideak izango dira, baldin fi-
nantza-lege berbera erabiliz, hasierako kapital beraren gain eta denbora-epe berean
ezarririk, bi kasuetan bukaerako kapital berbera lortzen badugu. Definizio horretan
C i n
C C n m i
C
n m
n
0 2
0
50 000 2 0 02 3
1
50 000 1 3 2 0 02 56 000
= = = =
= +
= + =
. ; % , ;
( )
. ( , ) .
urte
1
2
3
4
6
12
2
3
4
6
12
+
S
L
H
B
...
n m i
m i
m i
m i
m i
m i
m ( )
= =
= =
= =
= =
= =
m = urte baten barnean, interes-tasa bihurtzen edo kapitalizatzen den aldi-kopurua
m
i
i
mmmm ..............21
0 1 2 n urte
C i n
Cn
0 100 000 5
100 000 1
4
12
8
360
0 05
101 778
= = =
= + +
=
. ; % ;
. ,
.
4 hilabete eta 8egun
Cn
Lege finantziario klasikoak 19
Seihileko interes-tasa
Lauhileko interes-tasa
Hiruhileko interes-tasa
Bihileko interes-tasa
Hileko interes-tasa
8 egun
i2 2 0 02= =% , ; n 3=; urte
Cn
oinarriturik, kapitalizazio bakunaren legean ondoko erlazioa izango dugu interes-
tasa osoaren eta zatikakoaren artean:
1.3. KAPITALIZAZIO KONPOSATUAREN LEGEA
Legearen printzipioa
Sortzen dituen interesak produktiboak dira; hau da, ekitaldi batean sorturiko
interesa hasierako kapitalari gehitzen zaio interes berriak sor ditzan. Horrela,
ekitaldi konkretu bateko interesak kalkulatzeko, kontuan izan beharko ditugu
hasierako kapitala eta ekitaldi horretaraino sortu diren interesak.
Oro har, epe luzeko eragiketetan erabili ohi da.
Legearen osagaiak
C0 = hasierako kapitala
Cn = bukaerako kapitala
I = eragiketan sortutako interesak
i = interes-tasa edo korritua, kapital-unitate batek denbora-unitate batean jasaten
duen gehikuntza. Ehunekotan ematen da.
n = kapitalizazioaren aldi-kopurua.
Eredu matematikoaren lorpena
I1 I2 ... In
I1 < I2 < ... < In
0 1 2 3 4....................................... n
C0
2I1I
nC
C C n i C C n m i i m i i
i
m
n n m m m= + = + = =0 01 1( ) ( ); edo
20 Inbertsio-proiektuen azterketa eta balorazioa herri-erakundeetan
C0
n
C
C0
I2
I1
0 1 2 t
I2
I1
Beraz, Kapitalizazio Konposatuaren Legea: Cn = C0
. (1 + i)n
Adibidea: Finantza-erakunde batek bezero bati 200.000 euroko mailegu bat
eman dio ondorengo baldintzetan: lau urte barru itzuli behar du eta urteko %8ko
interes-tasa kobratuko zaio. Zein izango da bezeroak itzuli beharreko zenbatekoa?
Kalkula ezazu zor berria, bezeroak hiru hilabete eta erdiko atzerapenez ordainduko
balu, eta atzerapen horretan interes-tasa %9ra igo dela jakinik.
Kapitalizazio bakunaren kasuan ikusi dugun bezala, batzuetan finantza-
-eragiketan parte hartzen dutenek adosten dute interesen kapitalizazioa edo
bihurtzearen aldia urte baten barnean m aldiz ematea; hau da, horrelakoetan
zatikako interes-tasa azalduko litzaiguke. Erreferentzia gisa urteko interes-tasa bat
hartzen da, baina interesak m aldi bakoitzaren amaieran bihurtuko lirateke.
Adibidea: urteko %10eko interes-tasa bat ezartzen digute, interesen bihurketa
seihilekoa izanik. Zein da, beraz, ezarri diguten seihileko interes-tasa? Urte batek
bi seihileko dituenez, honako modu honetara kalkulatuko genuke:
Moneta-unitate bat kapitalizatuko bagenu, interesen bihurketa edo kapitaliza-
zioa urtean behin izanik, urtearen amaieran lortuko genukeena C1 = 1 . (1 + 0,10) =
1,10 unitate izango litzateke.
i2
0 10
2
0 05= =
,
,
1 200 000 1 09 272 098
2 272 098 1 09 279 024
4
4
3
12
15
360
. . ( , ) .
. . ( , ) .
C
Cn
= =
= =
+
I1 I2 ...... In( )
Ekitaldia
Interesak sortzen
dituen kapitala
Ekitaldian sorturiko
interes osoa
Ekitaldiaren amaierako
kapitala
0 -------- 1 0C 10 IiC = )1(0101 iCICC +=+=
1 -------- 2 )1(01 iCC += 21 IiC = 2
0212 )1( iCICC +=+=
2 -------- 3 2
02 )1( iCC += 32 IiC = 3
0323 )1( iCICC +=+=
n 1 ------- n 1
01 )1(
-
- +=
n
n iCC nn IiC =-1
n
nnn iCICC )1(01 +=+= -
Lege finantziario klasikoak 21
...
...
...
...
1,08
Aldiz, interesen bihurketa seihilekoa izanik,
lortuko genituzke.
Hau dela eta, kapitalizazio konposatuan bi motatako interesak bereizi beharko
ditugu1: m aldiz bihurgarria edo kapitalizagarria den urteko interes-tasa, jm urteko
interes-tasa nominal moduan ezaguna dena (gure adibidean %10); eta interes-tasa
efektiboa, urtearen amaieran benetan lortzen dena (%10,25). Horren ondorioz,
zatikako interes-tasa eta interes-tasa nominalaren artean, ondoko erlazioa izango
dugu:
Interes-tasa baliokideak: Ikusten dugun bezala, kapitalizazio konposatua
ezartzen den finantza-eragiketa batzuetan, datu gisa urteko interes-tasa edo zatikako
interes-tasa azal dakiguke (zuzenean emana edo tasa nominal moduan emana).
Beraz, kapitalizazio konposatuaren biderkatzailea horrela azal daiteke:
Dakigunez, urteko tasa eta zatikako tasa baliokideak izan daitezen lege
berbera erabiliz denbora epe berdinean, eta hasierako kapital berberaren gain
ezarririk, bi tasekin lorturiko bukaerako kapitalek berdinak behar dute izan. Beraz:
1.4. KAPITALEN BALIOKIDETASUNA ETA BATEZ BESTEKO BALIOAK
Kapital baliokideen kontzeptua
t denbora-une batean epemuga desberdina duten bi kapital baliokideak direla
esango dugu, baldin bi kapital horiek beren epemugatik aurrez adosturiko fi-
nantza-lege batean bidez eta interes-tasa berbera ezarririk t denbora-unera mugituz,
biek balio berbera hartzen badute.
C C i C C i
C i C i
i i i i
n
n
n m
m n
n
m
m n
m
m
m
m
= + = +
+ = +
= + - = + -
0 0
0 0
1
1 1
1 1
1 1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
;
;
( ) ( )1 1 1+ + +
i i
j
m
n
m
n m m
n m
; ;
i
j
m
j i mm
m
m m= = edo
= +
=C1
2
1 1
0 10
2
1 1025
,
, unitate
22 Inbertsio-proiektuen azterketa eta balorazioa herri-erakundeetan
1. Kapitalizazio bakunean ez da desberdintasunik egiten, biek balio berbera hartuko baitute.
Finantza-oreka (kapital baliokidetasunaren oinarrizko printzipioa)
Eragiketa finantzario konposatu baten aurrean, hau da, ematea, ordain-ema-
tea edo biak kapital bat baino gehiagoz osaturik daudenean, t denbora-une batean
finantza-oreka dugula diogu, baldin aurrez adosturiko lege baten bidez eta interes-
-tasa berbera ezarririk, ematea eta ordain-ematea osatzen duten bi kapital-multzoak
t une horretara arte mugitu eta bi kasuetan lortzen dugun balioa berbera denean.
Hau da, t unean kapital zordunen batura eta kapital hartzekodunen batura berdinak
direnean. t uneari oreka-puntu edo foku-data deritzo.
Banakuntzatasunaren baldintza
Demagun, L(x,y) funtzio batez adierazten den lege batek x unean inbertituriko
kapital batek y unean lortu duen balioa adierazten digula. Demagun, bestalde,
inbertsioa t unean amaitu egiten dela. Beraz, lortuko genukeen kapitalaren balioa
L(x,y) funtzioak adieraziko liguke. t unean lortutako kapitala berriro inbertituko
balitz, y uneko kapitalaren balioa ezagutzeko L(x,t) . L(t,y) egin beharko genuke.
Hori horrela izanik, finantza-lege batek banakuntzatasunaren baldintza bete-
tzen duela diogu finantza-lege hori ezarririk, ondoko berdintza egiaztatzen bada:
L(x,y) = L(x,t) . L(t,y); hau da, etenarekin edo etenik gabe amaieran lortutako
kapitalaren balioa berdina baldin bada.
Kapitalizazio bakunaren legeak ez du baldintza hori betetzen. Horren ondorioz, lege
hori erabiltzean, oreka-puntu bakar bat izango dugu, hau da, zenbait kapital
hartzekodunez eta hainbat kapital zordunez osaturiko eragiketa batean t unean
betetzen bada, soilik puntu horretan beteko da; beste edozein
denbora-unetan oreka lortu ahal izateko, emandako edo ordain modura emandako
kapitalen balioek aldatu egin beharko lukete.
Aldiz, kapitalizazio konposatuaren legeak, bete egiten du banakuntzatasu-
naren baldintza. Horrela, epemuga konkretu batean bi kapital-multzo baliokideak
baldin badira, eta beraz, finantza-oreka bat baldin badugu, oreka mantendu egingo
litzateke nahiz eta epemuga aldatu.
Batez besteko balioak
Finantza-eragiketa konposatuei buruz ari garenean, bi motatakoak desberdin
genitzake. Batetik, aldibereko eragiketak, non kapital batzuk izango ditugun horie-
tako bakoitzak epemuga propioa duela, baina ez epemugari dagokionez ez eta
kapitalen balio monetarioari dagokionez ez den kapitalen arteko erlazio berezirik
existitzen. Beste kapital batzuek, ordea, beren arteko erlazio bat badute (berdinak
direlako, edo bata bestearen bikoitza, edo bata bestea gehi kopuru finko bat delako,
e.a.) edo, beren epemugak erlazio zehatz baten arabera finkaturik baldin badaude
(epemugen arteko diferentzia hilabete bat da, edo urte bat, e.a.), honelako kapi-
talekin burututako eragiketei segidazkoak edo errentak deritze.
EKB OKB =
Lege finantziario klasikoak 23
t
Finantza-eragiketa batean data konkretu batean, epemuga desberdinak dituzten
eta denboran zehar banaturik dauden kapital batzuk ordezkatzen dituen kapitalari
kapital bakarra deritzo, eta ordezkapena burutzen den data konkretu horri, epe-
muga komuna. Kapital-multzoa ordezkatzen duen kapital bakarra zehazki kapital-
-multzoaren batura denean, ordezkapena burutzen den datari batez besteko
epemuga deritzo.
Bestalde, finantza-eragiketa batean azal dakiguken beste kontzeptu bat batez
besteko interes-tasa izango litzateke. Datu hori finantza-eragiketa batean interes-
-tasa desberdinek parte hartzen dutenean kalkulatuko dugu, helburua tasa desber-
dinek duten eragina, tasa bakar batean laburtzea izango da, betiere benetako ematea,
ordain-ematea eta eragiketaren iraupena errespetatuz.
Errenten kasuan, aurreko kontzeptuez gain, ezarpen edo amortizazio kontzep-
tuak azaltzen zaizkigu. Ezarpen-kuotez hitz egingo dugu inbertsio-eragiketa baten
aurrean gaudenean, eta amortizazio-kuotez, finantza-eragiketa batean gaudenean.
Oro har, errenta denboran zehar epemuga distantziakideak dituen finantza-
-kapitalen multzoa da, eta errenta osatzen duten kapital horietako bakoitzari
errentaren kuota edo terminoa deritzo.
Mota desberdinetako errentak aurki genitzake: terminoaren arabera, iraupena-
ren arabera, e.a. Baina, oro har, honelako eragiketetan interesatuko zaiguna hauxe
da: epemuga konkretu batean errentaren balioa kalkulatzea. Normalean balorazio-
-puntu gisa t = 0 eta t = n epemugak hartuko ditugu.
Kalkulu hauetan orokorrean kapitalizazio konposatuaren legea erabiliko
dugunez, modu honetara egingo dugu: Cn = C0
. (1 + i)n
a. Oreka-puntua oraingo aldiunean ezartzen badugu, errentak hartzen duen
balioari egungo balioa edo balio eguneratua (V0) deritzogu:
(termino guztien batura hasierako unean)
V
C
i
C
i
C
i
C
i
n
n0
1 2
2
3
3
1 1 1 1
=
+
+
+
+
+
+ +
+( ) ( ) ( )
...
( )
Urte
Hilabete...
1C
0 1 2 3 ............................................................ n
2C 3C nC
24 Inbertsio-proiektuen azterketa eta balorazioa herri-erakundeetan
n
b. Oreka-puntua amaierako aldiunean ezartzen badugu errentak hartzen duen
balioari bukaerako balio edo balio azkena (Vn) deritzogu:
(termino guztien batura bukaerako unean)
V C i C i C i Cn
n n
n n= + + + + + + +- -
-1
1
2
2
11 1 1( ) ( ) ... ( )
Lege finantziario klasikoak 25Inbertsio-proiektuen azterketa eta balorazioa herri-erakundeetan