Ascher H. Shapiro
Itzultzaileak:
Jose Ramon Etxebarria
Josu Mirena Igartua
Jon Igor Urresti
UEUko Fisika Saila
FORMA ETA FLUXUA
Arrastearen fluido-dinamika
Udako Euskal Unibertsitatea
Bilbo, 2000
Autorea
Massachusetts Institute of Technology institutuan egin zituen bere
ikasketak; 1938. urtean lizentziatu zen eta 1946.ean doktoratu. Lizen-
tziatu ondoren irakasle ibili da institutuan bertan; gaur egun ingeniaritza
mekanikoa irakasten du.
Shapiro doktorea termodinamikan espezializaturik dago, baina
abiadura handiak eta zurrusta-propultsioa agertutakoan, Bigarren Mundu-
-Gerran, abiadura handiko gasen dinamikari ekin zion. Gaur egun fluido-
-dinamikaren gai desberdinetan lan egiten du; berak dioenez, fluido-
-dinamikaren gaia "inoiz ez da agortuko, bizitzako eta teknologiako
edozein alorrekin loturik baitago, ezustez josita, gainera".
Bigarren Mundu-Gerrarako torpedoen garapenerako laborategiko
zuzendari-lana egiteagatik, Shapiro doktoreak Naval Ordnance Develop-
ment Award saria jaso zuen eta ekarpen baliotsuaren zertifikatua eman
zion Gerrarako Armada Sailak. National Advisory Committe for Aeronau-
tics erakundearen zenbait azpibatzordetan parte hartu du. Gainera, Atomic
Energy Commission eta Technical of Advisory Panel on Aeronautics of
the Secretary of Defense erakundeetarako aholkulari-lanak egin ditu. Pro-
ject Dynamo izeneko proiektua zuzentzen ari zela, energia nuklearrearen
erabilera zibilarekin loturiko arlo teknikoak eta ekonomikoak aztertu
zituen, AEC batzorderako.
Shapiro doktorea American Academy of Arts and Science, Sigma Xi, Tau
Beta Pi eta Pi Tau Sigma taldeetako kidea da. 1960. urtean, Richards
Memorial Award saria eman zion American Society of Mechanicals
Engineers erakundeak, "berak egindako goi-mailako lorpenengatik".
The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow
izeneko liburua idatzi du, eta aldizkari zientifikoetan idazten du, askotan.
Oraintsu, ingeniaritza filmen bidez irakastea bururatu zaio. Honen ondo-
rioz, bere ustez luzea izango den zerrendako lehenengo filma kaleratu du:
The Fluid Dynamics of Drag izenekoa, esku artean duzun liburuaren
iturria izan dena.
1960. urtean idatzitako testua.
ASCHER H. SHAPIRO
Eitea eta fluxua
ARRASTEAREN FLUIDO-DINAMIKA
Itzulpenari dagokionez,
© Jose Ramon Etxebarria, Josu Mirena Igartua, Jon Igor Urresti
© Udako Euskal Unibertsitatea
ISBN: 84-8438-012-2
Lege-gordailua: BI-2578-00
Inprimategia: RGM, Bilbo
Azalaren diseinua: Iñigo Ordozgoiti
Hizkuntza-zuzenketen arduraduna: Jose Ramon Etxebarria
Banatzaileak: UEU. Concha Jenerala 25, 4. BILBO telf. 94-4217145
e-mail: argitalpenak@ueu.org www.ueu.org
Zabaltzen: Igerabide, 88 DONOSTIA
«Liburu hau Hezkuntza, Unibertsitate eta
Ikerketa Sailaren laguntzaz argitaratu da»
Fisika Saileko ikasle guztiei
Aurkibidea
ITZULTZAILEEN HITZAURREA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I SARRERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Gure asmoak -- Arrastea sorrarazteko era desberdinak.
II ZENBAIT SAIAKUNTZA PARADOXIKO . . . . . 27
Haize-tunela -- Lehenengo saiakuntza: abiaduraren
eragina esferaren arrastean -- Bigarren saiakuntza:
esfera leunaren eta zertxobait laztutako esferaren
gaineko arrasteen arteko konparazioa -- Hirugarren
saiakuntza: itxura aerodinamikoa biskositate txikiko
fluidoan -- Laugarren saiakuntza: itxura aerodina-
mikoa biskositate handiko fluidoan -- Paradoxen
laburpena.
III FLUIDOEN DINAMIKAREN OINARRIZKO
KONTZEPTU ETA PRINTZIPIOAK . . . . . . . . . . . 49
Fluido jarraituaren eredua -- Fluido-partikulen
gaineko indarrak -- Fluido-partikuletan eragiten
duten indar-motak -- Gorputz-indarrak -- Gainazal-
-indarrak -- Tentsio normalak edo presioak
eragindako gainazal-indarrak -- Forma-aldaketaren
aurkako erresistentzia biskosoa sortzen duten ebaki-
dura-tentsioak -- Biskositatea zer den -- Ez-labain-
tzearen ezaugarria -- Presioaren eragina marrus-
kadura biskosoan -- Newton-en higidura-legea --
Antzekotasun dinamikoa eta Reynolds zenbakia --
Reynolds zenbakiaren jatorria -- Antzekotasun
dinamikoaren adibidea -- Antzekotasun dinamikoko
saikuntzetan lortutako emaitzak -- Reynolds zen-
bakiaren beste esanahi garrantzitsu bat -- Gorputzen
gaineko indarrak.
IV BISKOSITATEA NAGUSI DUTEN FLUXUAK,
REYNOLDS ZENBAKI BAXUETAN . . . . . . . . . 84
Biskositate handiko zenbait material -- Portaera oso
biskosoaren kontzeptu orokorragoa -- Reynolds
zenbaki oso txikietarako Stokes-en legea --
Fluidoaren dentsitatearen eragina.
V REYNOLDS ZENBAKI ALTUETARAKO
ARRASTE-LEGEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Arrastearen gaineko abiaduraren eragin esperi-
mentala -- Arraste-koefizientea eta Reynolds
zenbakia lotuko dituen antzekotasun dinamikoaren
legea -- Antzekotasun dinamikoa ereduekin
egindako frogen oinarria da.
VI MUGA-GERUZA BISKOSOA . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Zer garrantzi du biskositateak Reynolds zenbaki
handietan? -- Muga-geruza -- Reynolds zenba-
kiaren eragina muga-geruzaren hedapenean.
12 Forma eta fluxua
VII FLUXU LAMINARRA ETA FLUXU
ZURRUNBILOTSUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
VIII ARRASTEAREN GUTXIPENA,
AERODINAMIKAREN BIDEZ . . . . . . . . . . . . . . . 129
Aerodinamikako esperimentuak -- Bernouilli-ren
printzipioa fluido ez-biskosoen fluxuaren kasuan --
Biskositatearen efektua presio-banaketan -- Aur-
kako presio-gradientearen eraginpeko muga-
-geruzaren geldiketa-gunea -- Presio-arrastea forma
aerodinamikoen eta forma ez-aerodinamikoen kasuan
-- Muga-geruzaren bisualizazioa -- Aerodinamikako
esperimentuen azalpena -- Zein da forma aerodina-
mikoen sortzaile hobea, natura ala gizakia?
IX PARADOXAK ARGITUZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Zergatik dakarren aerodinamikak arrastearen gehi-
kuntza Reynolds zenbaki txikietan -- Zergatik
dakarren batzuetan abiadura handitzeak arrastearen
gutxitzea -- Zergatik gutxitzen duen batzuetan
laztasunak arrastea
AURKIBIDE ALFABETIKOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Aurkibidea 13
Itzultzaileen hitzaurrea
Esku artean duzun itzulpena azken bost urteotan etenka egindako
lanaren ondorioa da. Itzultzaileetako batek interesgarri ikusi zuen Fisika-
-ikasketetan lantzen ez zen fluidoen gaiaz zerbait prestatzea. Gaur egun
aipaturiko ikasketetan fluidoen mekanika azaldu egiten da zenbait irakas-
gaietan, baina orduan ez. Fluidoen mekanikan adituak diren zenbait
irakaslerekin hitz egin ondoren, eta haien esanei segituz, oinarrizko bi
ezaugarriko liburua lantzea erabaki zuen: alde batetik, fluidoen mekani-
kari buruzko funtsezko kontzeptuak argitu behar zituen liburuak; eta
bestetik, ulerterraza izan behar zuen; hots, tresneria matematiko korapila-
tsuegirik erabili gabe idatzirikoa izan behar zuen.
Etenkako lanari buruz, ondokoa esan beharra dago. Aipaturiko
itzultzaileak 1996. urteko uztailean egin zuen itzulpenaren lehen bertsioa.
Asmoa, urte hartako Durangoko Liburu eta Disko Azokarako argitaratzea
zen. Dena den, zenbait arazo izan zirela eta, lehenengo bertsio horrek ez
zuen aurrera egin, eta bi urtez, gutxi gorabehera, kutxa batean sarturik,
ahaztuta egon zen.
UEUko Fisika Saileko arduretako bat, betidanik, irakaskuntzarako
materiala plazaratzea izan da, printzipioz originala; baina itzulpenak ere
ongi etorriak izan dira. Beste ardura bat, fisika-saileko ikasleak eta ira-
kasleak prestatzea da; bai fisikaren ikuspuntutik, eta bai euskarari begira
ere. Gainera, kideen artean, zenbait momentutan, irriki berezia egon da
itzulpenen munduan sartzeko. Horrexegatik, 1998an egindako bilera
batean Fisika Saileko Itzulpen-taldea abian jartzea erabaki genuen. Guzti-
ra zazpi UEUkidek osaturiko lan-taldea sortu genuen. Orduko taldean,
esku artean duzun itzultzaileetako bik parte hartu genuen. Material-
-sormenean beharrak handiak ziren, baina itzulpen-talde sortu berria lan-
-talde moduan eskarmenturik gabekoa zenez, itxuraz lan erraza izan
Itzultzaileen hitzaurrea 15
zitekeenarekin hastea erabaki zen. Orduan, bi urte aurrerago egindako
lana aprobetxatzea erabaki zen. Hots, taldeak itzulpena kutxatik atera eta
gainbegiratu egin behar zuen, urtebeteko epean, bigarren bertsioa egiteko
asmoz. Bigarren bertsio hori, UEUko zuzentzaile orokorrak gainbe-
giratuko zuen; hauxe da itzultzaileen artean hirugarrena, Jose Ramon
Etxebarria.
Bikoteka lan eginez, bina kapitulu itzuli behar ziren. Gainera, denon
artean adostatutako esamoldeak eta abar ere finkatu nahi izan ziren,
baina... Koordinazio faltagatik, eta nahiz eta, agindu bezala, urtebetez lan
egin, itzulpenak ez zuen argirik ikusi.
Berriro kutxara, eta are gehiago, hondorik gabeko kutxara antza
denez, egindako lana galdu egin baitzen: zenbait bertsio idatzita hemen-
dik, fitxategiren bat handik, baina koherentziarik gabe, ordenarik gabe.
Lana galdutzat eman zuen taldeak.
Bizitza aurrera zihoan ...
Bitartean, hurrengo urtean, UEUk Zuzenketa-Ikastaroa antolatu
zuen, eta hara! itzultzaileetako bi, ikastaroko bost ikasleen artean egoteko
zortea izan genuen; jakina, ikastaro-arduraduna Jose Ramon Etxebarria
zen. Aipaturiko bi ikasleok ikastaroan landu beharreko ariketa orokortzat,
ditxosozko liburua lantzea erabaki genuen. Eta horrela, bien artean,
hasierakoa ahaztuta bai, baina erabat galduta ez zegoen lehen bertsioa
goitik behera gainbegiratu genuen. Ondoren, parte bat itzultzeaz gain,
hiruron lana Jose Ramon Etxebarriak zuzendu du.
Hortaz, horixe da arrazoia, espresuki aipatuta gauden hirurok itzulpe-
naren egile moduan agertzeko. Dena dela, itzulpen-taldean aritutakoak
aipatzea ere zilegi eta egokia denez, hemen doazkizu, ordena alfabeti-
koan: Xiomara Gezuraga, Edorta Karraskal, Aitziber Lasa, Ainhoa Urze-
lai eta Nora Zabala.
Liburuaren edukiari dagokionez, arestian esan bezala, erraz iraku-
rriko duzun liburua duzu esku artean. Gainera, ez duzu behar izango goi-
-mailako ezagumendu matematikorik, erabat kualitatiboa baita den-dena.
Hala ere, tresna oso egokitzat jo dugu itzultzaileok, benetan funtsezko
16 Forma eta fluxua
kontzeptuen azalpen fisikoaz eta aplikagarritasun teknikoaz jabetzeko
aukera emango baitizu. Ikusiko duzun moduan, idazkera erraza izateaz
gain, pedagogikoa da oso; poliki-poliki eramango zaitu, sinpleenetik ko-
rapilatsuenera, baina konturatu gabe, era ikusgarrian; saiakuntzak propo-
satuz, saiakuntzak aurrera eramanez eta, azkenik, aztertuz eta argituz.
Bestalde, liburuaren tamaina, aurkezpen eta maketazioari dagokienez,
egoki iritzi genion jatorrizko argiltalpeneko erabakiak errespetatzeari.
Horrela, orrialdez orrialde, euskarazko bertsioko liburuak jatorrizkoaren
egitura berbera du. Argazkiak zuri-beltzean eginikoak dira, baina oso
adierazgarriak, egiaztatu ahal izango duzunez.
Besterik gabe, bada, gustukoa izango duzulakoan, ekin iezaziozu
irakurtzeari!
Itzultzaileak
Bilbon, 2000ko azaroaren 6an
Itzultzaileen hitzaurrea 17
I. KAPITULUA
Sarrera
1. irudiko pertsona edo objektu guztiek --urpekaria, ontzia,
erortzen ari den jauskaria, belaontzia, hurakana, ur-eskiatzailea, ur-
-bizietan dagoen haitza-- badute ezaugarri komun bat. Kasu horie-
tan guztietan objekturen bat, handia izan zein txikia izan, gas edo
likido batean higitzen da; edo fluidoa higitzen da objektuaren
inguruan. Kasu bakoitzean, mugitzen ari den objektuak erresisten-
tzia bat jasaten du fluidoan duen mugimendua dela eta. Arrastea
deritzogu erresistentzia horri. Kasu guztietan, kanpo-indarren bat
--ur-eskiatzaileari heltzen dion sokak duen tentsioa, kasu-- egin
beharko da erresistentzia hori gainditzeko, edo objektua mantsotuz
joango da, dezeleratuz.
Fluidoak ditugu bai gasak bai likidoak. Fluidoen dinamikak
higitzen diren fluidoak aztertzen ditu. Likidoek edota gasek,
higitzean, zein indar eragiten diete objektuei? Edo alderantziz,
nolakoa da fluidoen higidura objektuek eragindako indarpean?
Gure inguruan, baita gure gizarte industrialean ere, likidoak eta
gasak edonon aurki ditzakegunez, fluidoen dinamikaren funtsa
diren oinarrizko galdera hauek modu askotan eragiten dute bizitza
eta teknikaren alor guztietan.
Galileo-k Pisako dorre inklinatuan burutu omen zuen saia-
kuntza famatu haren aurretik, luma metalezko bola baino geldoago
eroriko zela uste zuten filosofoek, pisu txikiagoa zuelako. Orain
20 Forma eta fluxua
1. irudia. Fluidoen dinamikak --indarren eta higiduraren
arteko erlazioak likido eta gasetan-- hainbat egoera
desberdin gobernatzen ditu.
Sarrera 21
22 Forma eta fluxua
badakigu horrela ez dela. Luma geldoago eroriko da, beraren pi-
suarekin konparatuz, lumaren higidurari aireak eragindako aurkako
erresistentzia metalezko bolaren kasuan baino askoz handiagoa
delako.
Aurrekoa frogatzeko, airez ia guztiz hustutako hodi bertikal
batean utziko ditugu erortzen luma eta altzairuzko bola. Biak aldi
berean askatzen baditugu, altzairuzko bolak egiten duen une
berean joko du hondoa lumak ere.
Izatez, gorputz guztiek azelerazio berbera dute hutsean, beren
neurria, itxura, material edo pisua edozein izanik ere. Airea --eta
beraren erresistentzia-- desagertzean, luma eta bola aske eroriko
dira grabitateak eragindako azelerazioaz. Lastima antzinako
greziarrak ez zirela hutsa sortzeko gai, horrelako saiakuntzak
burutzeko. Greziarren ustez, gorputz bat abiadura konstantez
higiarazteko, etengabe indar baten bidez bultzatu beharra zegoen.
Baina Isaac Newton-ek aldarrikatutako dinamikaren lehenengo
printzipio nagusiak dioskunez, gorputz bat abiadura konstantez
higitzen bada, ez dago bere gaineko inolako indarrik. Greziarrek,
hegan zihoazen harriak, geziak eta antzekoen higidura behatzeaz
kontentatu behar zuten. Ez ziren konturatu aireak, nahiz eta
ikusezin eta ukiezina izan, erresistentzia-indarra eragiten duela,
zeinak jaurtitako objektua geldotzen duen, bestelako kanpo-indar
batek arraste-indarrari aurka egin eta zero indar garbiko egoera
sortzen ez badu behintzat.
300 urte baino ez dira pasatu, zientzialariak higitzen diren
fluidoen inguruko nozio errealak aztertzen hasi zirenetik. Baina
aurreko mendean urrats handiak eman ziren fluidoen dinamikaren
oinarrizko ulermenean.
Sarrera 23
GURE ASMOAK
Liburu honen helburuetako bat, fluidoetan gertatzen den higiduraren
kontrako erresistentziaren inguruko informazio interesgarria
aurkeztea da, saiakuntzen bidez batez ere. Itxura edo forma des-
berdinetako gorputzekin lan egingo dugu --aerodinamikoak eta
ez-aerodinamikoak, azal latzeko gorputzak eta azal leunekoak,
fuselaje-itxurakoak eta hego-itxurakoak-- eta era berean hainbat
fluido desberdinekin: gasak, likidoak, biskositate handiko fluidoak,
biskositate txikikoak, oso fluido dentsoak, fluido arrarifikatuak.
Ingeniaritzako adar guztietan garrantzitsua da fluidoek higidurari
eragindako erresistentzia ulertu eta aurresateko gaitasuna izatea.
Zein bulkada behar du ontzia edo hegazkina mugiarazten duen
motorrak? Zer neurrikoa izan behar du jausgailu batek jaitsiera
segurua ziurtatzeko? Zein itxura izan behar lukete txorrotada
bidezko propultsatzailearen konpresorearen palek erresistentzia
minimoa izateko? Zein neurritan dezeleratuko da satelite artifiziala
atmosferan berriro sartzean? Zein abiaduraz barneratuko da olioa
hondar-geruzan zehar? Zein neurrikoak behar dute izan olio-
-birfindegiko hodiek? Zenbat ur ekar daiteke mendiko ur-biltegi
batetik kanal irekiaren bidez? Dudarik gabe, garrantzi praktiko
handiko galderak ditugu. Zeuk ere fluidoen erresistentziarekin
zerikusia duten beste hamaika galdera pentsa ditzakezu.
Aipatuko ditugun saiakuntzak banan-banan aztertuz gero ez
dirudi portaera-eredu garbirik dutenik. Are gehiago, zenbait
behaketa paradoxiko agertuko zaizkigu, eta portaera-ereduren bat
aukeratzekotan, portaera kaotikoa litzateke.
Aurrekoak, garrantzitsuena den gure bigarren helburura
garamatza: nola aurki diezaiokegun nolabaiteko zentzua eta ordena
itxurazko kaos honi, oinarrizko kontzeptu eta printzipio fisiko
gutxi batzuen bidez. Beste era batera esanda, fluidoen dinamikaren
oinarriak azaleratzeko tresna modura erabiliko ditugu arraste-saia-
kuntzak.
24 Forma eta fluxua
ARRASTEA SORRARAZTEKO ERA DESBERDINAK
Arrastea sorrarazteko modu desberdinetatik, guk, biskositateak
sortutakoa erabiliko dugu bakarrik liburu honetan. Honek,
dentsitate konstanteko fluidoekin lan egitera mugatuko gaitu,
uhinak barreia daitezkeen gainazal askerik ez duten baldintzetara,
eta fluidoarekiko elkarzutak diren indarrak jasaten ez dituzten
gorputzetara. Dena den, arrastea sorrarazteko beste bide batzuk ere
badaudela jakin behar duzu, hala nola:
(1) Uretan doan ontziak, konstanteki barreiatzen den
grabitate-uhinen sistema sortzen du, zeinak energia zinetiko
eta potentziala itsasoan barna urrunera irradiatzen duen.
Itsasoari energia hau emateko, higitzen den ontziak lan
mekanikoa egin behar du, urari egindako indarren bidez.
Urak ontziari eragindako indar baliokide eta aurkakoari
"uhin-arrastea" deritzo.
(2) Abiadura supersonikoetan edo abiadura subsoniko
altuetan hegan dabilen hegazkinak, presio-uhinen sistema
darama berekin, eta horrek, ontzien grabitate-uhinen sistema-
ren analogiaz, aire-ozeanora irradiatzen du energia. Energia-
-elikatze hau, higitzen den hegazkinak aireari eragiten dion
indarrak mantentzen du. Indar honen aurkako erreakzio
baliokidea "uhin-arraste supersonikoa" deitzen da.
(3) Goraka doan luzera finituko hegoak, bere muturretik,
aire-hezetasun baldintza batzuetan ikus daitezkeen "zurrun-
bilo-jarraitzaile" batzuk igorri edo emititzen ditu. Luzatze
konstanteko zurrunbilo-jarraitzaile hauek energia zinetikoa
dute. Hegoek, zeharkatzen duen aireari konstanteki energia
zinetikoa emateko, lana egin behar dute aireari eragindako
indarren bidez. Indar honekiko erreakzioari "goratzeak
sortutako arraste induzitua" deritzo.
Sarrera 25
Hasieratik azpimarratu behar dugunez, higidura erlatiboa eta
arrastea berdinak dira, gorputza, abiadura uniformez, geldirik da-
goen fluido-ozeano batean higitzean edota, haize-tunelaren kasuan
modura, fluido-gorputz handi bat objektuaren inguruan isurtzen
denean. Aurrekoaren arabera, gure zenbait saiakuntzatan eredu
geldikorra erabiliko dugu mugitzen den korrontean; eta beste
zenbaitetan, eredua higituko da fluido geldikorrean barna. Bi
baldintzak guztiz baliokideak direnez, saiakuntzen emaitzak,
erabilitako saiakuntza-metodoa edozein izanik ere, berdin inter-
preta ditzakegu. Behatzailearen ikuspuntu-aldaketa honi --hots,
batean gorputzari lotua eta bestean fluxuari lotua-- "transformazio
Galilearra" deritzo. Gehienetan komenigarria izaten zaio beha-
tzaileari objektuarekin bat mugitzea, horrela, igarotako fluxu-isuria
berdina izango baita uneoro. Dena den, haize-tunelean finko da-
goen hegazkin-modeloarekin saiakuntzak egitea askoz sinpleagoa
da, saiakuntza-tresnerian zehar hegan doan hegazkin-modeloarekin
frogak egitea baino.
26 Forma eta fluxua
II. KAPITULUA
Zenbait saiakuntza paradoxiko
Lau saiakuntza aztertuz hasiko gara. Beren-berengi aukeratu dira,
puntu bat argitzeko asmoz: behaketa esperimentalak aurresane-
zinak dira, berauei buruz fluidoen higiduraren dinamikaren fun-
tsezko printzipioen arabera pentsatzen hasten garen arte.
HAIZE-TUNELA
Saiakuntzak burutzeko erabili den haize-tunela 2. irudian ageri da.
Azpiko ganbaratik, aire-zurrusta 230 mph-rainoko (mph milia
orduko) kontrolpeko abiaduran ateratzen da gorantz haizebidean
zehar. Konpresore batek hornitzen du ganbara presiopeko airez.
Palanka-sistemaren mutur batean modelo desberdinak jar ditzakegu
aire-zurrustaren parean, 2. irudiko esferarekin egin den antzera.
Balantzaren pibot modura, boladun errodamendu bat erabiliko
dugu. Aire-zurrusta parean dagoen modeloan egindako goranzko
arraste-indarra, balantzako besoak beheranzko teinkada moduan
transmitituko du, palankaren beste muturrean dagoen malguki bi-
dezko pisu-neurgailuaren eskalara. Hasieran, oraindik aire-fluxurik
ez dagoela, besoan ezarritako kontrapisuak doitu egin daitezke,
eskalan zero marka beha dezagun.
28 Forma eta fluxua
2. irudia. Haize-tunelaren muntaia. Nire eskuak
modeloari (esferari) eusten dio balantzaren muturrean.
Modeloaren azpian, gorantz begira, haizebidea ikus
daiteke. Bertatik aterako da mahai azpian dagoen
ganbarako presiopeko airea eguratserantz. Ezkerreko
eskuaren azpian motelgailu biskosoa dago. Balantzaren
besoa, errodamendua, indar-eskala eta kontrapisuak ere
ikus daitezke.
3. irudia. Pibota (boladun errodamendua).
Haizebidea Motelgailua Kontrapisuak
Pibota
(errodamendua)
Balantzaren
besoa
Ganbarako presioa egurats-presioa baino handiagoa da, eta
presio-diferentziak finkatuko du aire-zurrustaren abiadura. Hodi
malgu baten bidez, koloreztatutako urez betetako U-itxurako
presio-neurgailu baten zutabeetako batera eramango da ganbarako
presioa (4. irudia). Neurgailuaren beste zutabea eguratsera irekita
dago. Presio-diferentziak desorekatuko ditu alde bietako ur-zuta-
beak, eta eguratsera irekita dagoen ur-zutabeak kalibraturik egon
behar du, haizearen abiadura zuzenean mph-tan irakurri ahal izateko.
LEHENENGO SAIAKUNTZA:
ABIADURAREN ERAGINA ESFERAREN ARRASTEAN
Hiru hazbeteko diametroa duen esfera, balantzaren besoari lotuko
diogu, aire-zurrustaren gain-gainean (5. irudia). Ondoren, hai-
zearen abiadura linealki jasoz, arrastea neurtuko dugu (6. irudia).
Zenbait saiakuntza paradoxiko 29
4 irudia. Eskuetan dudan hoditxoak darama ganbarako
airea, abiadura-eskalaren atzean (irudian ikus ezin daite-
keena) dagoen U-itxurako presio-neurgailuaren zutabe
batera. Irudian ikus daitekeen neurgailuaren beste zuta-
bearen mailak, haizearen abiadura adierazten digu
zuzenean.
Abiadura 80 mph-koa izan den kasuan, indarra eskalako 1,5 uni-
tatekoa izan da. Abiadura 100 mph-koa izan denean, arrastea 2,4
unitateraino igo da. Apurtxo bat gorago, 115 mph-ko abiaduran,
arrasteak 3,0 unitateko balioa hartu du. Orain artekoa oso erre-
gularra da; espero genezakeena. Baina, gure harridurarako, abia-
durak 115 mph-ko balioa gainditu duenean, arrastea gutxituz hasi
da, eta 140 mph-ko abiaduran 2,3 unitateko balioa izan du soilik.
Jarraian, arrastea berriro handitu da, eta 155 mph-ko abiaduran 3,1
unitateko balioa hartu du. Ondoren, arrasteak handituz jarraitu du
beste inolako irregulartasunik gabe.
Aipatutako behaketak 7. irudiak laburbiltzen ditu grafikoki.
Ardatz bertikalean arraste-indarra adierazi da, eta ardatz horizonta-
lean, haizearen abiadura. Zerotik abiatuz, abiadura handituz doan
neurrian, arrasteak ere gorantz egiten du, azeleratuz doan autotik
eskua ateratzean gertatzen den modu berean. Baina abiadura balio
kritiko konkretura heltzean, hortik gora abiadura handiagotzeak
arrastearen txikiagotzea dakar. Gainera, puntu horretan, arraste-
30 Forma eta fluxua
5. irudia. Pilota esferikoa aire-zorrotadaren gainean.
-eskalako orratzak oszilazio handiak ditu, nolabaiteko ezegonkor-
tasunaren adierazgarri. Azkenik, arrastea poliki-poliki gorantz doa
berriro, abiadurarekin bat, baina hasierako goranzko tartean zera-
manaz bestelako kurba desberdin bati jarraituz.
Beraz, bi fluxu-mota desberdin daudela dirudi, abiadura-tarte
jakinean batetik besterako trantsizio arina gertatzen delarik. Abia-
duraren handiagotze txiki batek fluxua mota batetik bestera pasa-
razten duenean, bat-bateko beherapen nabarmena du arrasteak.
Zein dira aipatutako fluxu-motak? Eta, egia al da abiadura handiko
arrastea abiadura txikietakoa baino txikiagoa izan daitekeela?
BIGARREN SAIAKUNTZA: ESFERA LEUNAREN ETA
ZERTXOBAIT LAZTUTAKO ESFERAREN GAINEKO
ARRASTEEN ARTEKO KONPARAZIOA
Oraingoan, haizea ganbaratik eguratsera aterako duten bi haizebide
berdinekin arituko da haize-tunela (8. irudia). Modu honetan,
haize-abiadura bereko eta diametro berbereko bi aire-zurrusta lortu
ditugu. Saiakuntza honen helburua ez da arrastea kuantita-tiboki
neurtzea, abiadura bereko haizepean dauden bi objekturen gaineko
arrasteen konparazioa egitea baizik. Beraz, objektu biak luzera
bereko bi beso dituen balantzaren muturretan kokatuko ditugu.
Erraza da arrasterik handiena zeinek pairatuko duen beha-tzea,
balantza zein aldetara desorekatzen den ikusiz.
Erabiliko ditugun objektu edo modeloak diametro bereko bi
pilota dira. Urrunetik berdinak dirudite, baina benetan garrantzi-
tsua den xehetasun txiki batek desberdinduko ditu: batak beira-
-akabera du, hots, akabera leuna; besteak, aldiz, urratu fin batzuk
ditu eta plastiko mehezko tira zirkular estu bat dauka atxikirik.
Aipatutako xehetasunez gain, beira-akabera duen gainazalean,
urratu txiki horiek haize-fluxuari zein arrasteari ekar diezaz-
kieketen ondorioak benetan ezustekoak dira.
Zenbait saiakuntza paradoxiko 31
32 Forma eta fluxua
6. irudia.
Irudia Airearen abiadura Arraste-indarra
6a 80 1,5
6b 100 2,4
6c 115 3,0
Zenbait saiakuntza paradoxiko 33
Irudia Airearen abiadura Arraste-indarra
6d 140 2,3
6e 155 3,1
6f 170 4,0
Esferak eseki ondoren, eta oraindik aire-zurrustarik gabe,
balantzaren besoak orekatuko ditugu, horizontal gera daitezen.
Haize-fluxua hasitakoan, eta oraindik abiadura txikia denean, 10a
irudian agertzen den moduan okertuko da besoa. Irudian argi
dagoenez, esfera leunaren gaineko arrastea txikiagoa izango da.
Abiadura gorantz joan den neurrian, besoaren desbideratzea gero
eta handiagoa izan da aipatutako norabidean. Baina bat-batean,
125 mph-ko abiadurako balioan, desbideratzea guztiz kontrakoa
izatera pasatu da (10b irudia); beraz, urratuak dituen esferaren
gaineko arrastea txikiagoa da. 125 mph-ko abiadura baino balio
handiagoetarako, esfera latzaren gaineko arrasteak txikiagoa izaten
jarraitzen du, behintzat erabilitako abiadura maximoraino, 200
mph-ko abiaduraraino hain zuzen ere. Abiaduraren balioa jaitsiz
gero, arraste erlatiboen arteko aldaketa 125 mph-ko abiaduran
gertatuko da berriro ere.
34 Forma eta fluxua
7. irudia. 6. irudian ageri diren saiakuntzen laburbiltze
grafikoa.
ABIADURA
ARRASTEA
Zenbait saiakuntza paradoxiko 35
8. irudia. Neure eskuak ereduen bi euskarrietan ditut,
pibotetik distantzia berera, haizebideen pare-parean.
9. irudia. Zertxobait laztutako esfera. Urratuek, hiru
hazbete-milareneko sakonera dute, eta atzamar parean
dagoen plastikozko tirak hazbete-ehuneneko lodiera du.
36 Forma eta fluxua
10. irudia. (a) abiadura txikietan --hemen 120 mph--
eskuineko esfera leunak ezkerreko esfera latzak baino
arraste txikiagoa du. (b) Abiadura kritiko batetik gora
--hemen 125 mph-- esfera latzaren arrastea, bat-batean,
leunarena baino txikiagoa da.
Abiadura kritiko horretan, esferetako baten, edo ziurrenik
bien, inguruko fluxu-ereduan erabateko aldaketa gertatu behar dela
pentsa genezake. Lehenengo saiakuntzaren arabera (6. eta 7.
irudiak), bigarren saiakuntza honetan erabilitako laztutako
esferaren arrastearen bat-bateko beherapena agertuko zela
aurreikus genezakeen, baina aldaketa honen zergatia, eta esfera
leunean zergatik gertatzen ez den, azaltzeke daude.
Gainazalaren laztasunak batzuetan arrastea txikiagotu egin
dezakeela ohartzea harrigarria bada ere, are txundigarriagoa da,
abiaduraren zenbait baliotarako esfera latzaren arrastea esfera
leunarenaren arrastearen bostena baino txikiagoa dela konturatzea,
balantzaren eskalaren bidezko behaketa kuantitatiboen ondorioz.
Fenomeno naturalen munduan, baldintzen aldaketa txikiek
portaeretan ere neurri bereko aldakuntzak ekarriko dituztela pen-
tsatzeko joera dugu. Nola da posible, ukimenez ia nabarmenezinak
diren urratuen moduko kausa txiki batek arrastearen balioa bost
aldiz txikiagotzea bezain efektu nabarmena ekartzea?
HIRUGARREN SAIAKUNTZA: ITXURA AERODINAMIKOA
BISKOSITATE TXIKIKO FLUIDOAN
Ondoren, elkarrekin erlazionaturik dauden bi saiakuntza deskriba-
tuko ditugu: bata airean gertatuko da, eta bestea, berriz, glizerinan.
Airearen eta glizerinaren biskositate-balioen artean alde handia
dago; hots, berauetan murgilduta dagoen edozein material
bultzatzeko edo bere forma aldatzeko, barne-marruskaduraren
balioak oso ezberdinak dira. Eztiaren modu berean, nagikeriaz
jarioko da glizerina pitxerretik kanpora; ostera, gasak, libreki
higitzen dira batetik bestera.
Oraingoan ere, airearen saiakuntza burutzeko bi haize-bideak
eta beso berdineko balantza prestatuko dira haize-tunelean.
Arestian aipatutako 3 hazbeteko esfera leuna, forma aerodinamikoa
duen gorputz batekin alderatuko dugu (11. irudia). Geroago
Zenbait saiakuntza paradoxiko 37
finkatuko dugu "forma aerodinamiko" esamoldearen esangura.
Oraingoz, punturik garrantzitsuena hauxe da: aerodinamikoa den
gorputzaren diametrorik handiena, esferaren diametroaren berdina
izatea; eta beraien arteko ezberdintasun bakarra, lehenengoak,
gutxi gorabehera, malko-tanta baten itxura izatea.
38 Forma eta fluxua
11. irudia. Aerodinamikak arrastea gutxitzen du
haize-tuneleko saiakuntzan. Ezkerreko eredu
leunak, eskuineko eredu esferiko leunaren dia-
metro maximo berdina du, baina itxuraz,
komikigileek erortzen ari den malkoari ematen
dioten forma bera du (egiazko malkoek guztiz
itxura desberdina dute).
Eredu biak haize-bide bikien gainean kokatuko ditugu berri-
ro. Oraindik haize-fluxurik ez dagoela, balantzaren besoak hori-
zontal orekatu ditugu. Abiadura poliki igo dugu, 200 mph-ko abia-
durara heldu arte, eta eredu aerodinamikoak, esferak baino arraste
txikiagoa jasaten duela ikusi dugu (11. irudia). Hau, aurretik ere
espero genezakeen. Aldez aurretik ziurtzat dugu itxura aerodina-
mikoa izatea ona dela, hau da, erresistentzia beheratuko duela
horrek, nahiz eta honako galdera hau egin dezakegun: zergatik
dago itxura aerodinamikoa duen gorputzeko gune kamutsa aurreko
aldean eta gune zorrotza atzeko aldean, alderantziz izan beharrean?
Baina hau gure arazoaren parte denez, jarrai dezagun aurrera.
LAUGARREN SAIAKUNTZA: ITXURA AERODINAMIKOA
BISKOSITATE HANDIKO FLUIDOAN
Aipatutako saiakuntza-bikotearen kasu honetan, likido biskoso
berbera duten bi hodi bertikal erabiliko ditugu. Hodi horietan, aldi
berean modelo bana askatu eta hondora daitezen utziko ditugu,
arinago zein hondoratuko den ikusteko. Modelo horiek haize-
-tuneleko saiakuntzan erabilitako modeloen eskala txikiko kopiak
dira (12. irudia); bata esfera leuna eta bestea, itxura aerodinami-
koagoa duen diametro maximo bereko gorputza.
Aurreko haize-tuneleko saiakuntzan, hasi aurretik balantza
orekatu dugu, modelo biek, airean, hots, alderaketa egiteko erabili
dugun fluidoan, pisu neto berdina izan zezaten. Oraingoan erabi-
liko ditugun bi modelo txikiak ere pisu berberekoak dira, baina ez
airean, glizerinan baino, zeinean zehar hondoratuko diren. Haize-
-tuneleko saiakuntzan, abiadura berberean doazen gorputz biren
gainean agertu diren arrasteen arteko alderaketa egin dugu. Glize-
rinaren esperimentuaren kasuan, aldiz, errazagoa da bakoitzari
arraste berbera eragingo dion abiadurak alderatzea.
Orduan, nola ziurta dezakegu bien gaineko arrastea berdina
izango dela? Edozein gorputz, likidoz betetako zutabe bertikalean
Zenbait saiakuntza paradoxiko 39
zehar hondoratzen uztean, hasieran azeleratu egingo da, baina
zenbat eta arinago higitu hainbat eta handiagoa izango da gorpu-
tzaren gaineko arrastea, denbora-tarte baten ondoren hondoratze-
-abiadura konstantea izango den arte. Gauza bera gertatzen da
euri-tanten edo elur-maluten kasuan, baita jauskariaren kasuan ere.
Azken abiadura horri muga-abiadura deritzogu. 13. irudiak altzai-
ruzko esfera glizerinan hondoratzearen prozesuaren argazki estro-
boskopikoa erakusten du. Esposizioen arteko denbora-tartea kons-
tantea da, eta beraz, elkarren segidako kokapenak aldiuneetako
abiaduren adierazgarri dira. Ikus daitekeenez, hasieran azelerazio-
-gune bat dago, poliki-poliki abiadura konstanteko gune bihurtuko
dena.
Gogoraraz dezagun Newton-en higiduraren lehenengo legea:
lerro zuzenean zehar eta abiadura uniformez higitzen ari den
gorputzaren gaineko indarren batura algebraikoak nulua izan behar
du. Airearen erresistentzia eta grabitaterik ez balego, esaterako,
40 Forma eta fluxua
12. irudia. Laugarren saiakuntzan erabilitako ereduak.
Zenbait saiakuntza paradoxiko 41
13. irudia.
jaurtiriko pilota bat etengabe higituko litzateke lerro zuzenean,
abiaduraren gorapen zein beherapen txikienik ere pairatu gabe,
bere gainean indarrik ez baitago. Hala ere, muga-abiaduraren saia-
kuntzaren kasuan gertatu den moduan indarrak dauden kasuan
(pisua eta arrastea), eta zehazki balio berekoak izan eta kontrako
noranzkoan ari diren kasuan, aipatutako egoera berbera lortuko
dugu. Indar netoa nulua da, eta abiadura zein higiduraren norabi-
dea aldaezinak dira. Muga-abiaduran, beraz, gorputza geldiaraziko
duen arraste-indarrak beherako noranzkoa duen pisu-indarra ore-
katuko du.
14. irudian ikus daitekeenez, modelo biak kordelen bidez
esekita daudela, glizerinan murgildu dira, beso berdineko balan-
tzan. Modeloei pisua gehituko zaie balantzaren besoa horizontalki
geratu arte. Beraz, horren arabera, modelo biek pisu berbera dute
glizerinan. Ondorioz, arestian esan dugunari segituz, glizerinaz be-
teriko zutabean zehar muga-abiadura berberaz hondoratuz doaze-
nean, arraste berbera pairatuko dute. Bataren muga-abiadura bes-
tearena baino handiagoa bada, fluxuaren kontrako erresistentzia
txikiagoa ageriko du azken honek.
Gogora dezagun haize-tuneleko saiakuntzan forma aero-
dinamikoa duen gorputzak aire-fluxuaren kontrako erresistentzia
txikiagoa ageri duela. Abiadura berean arraste txikiagoa pairatu du.
Ondokoa da geure buruari galde diezaiokeguna: erresistentzia
txikiagoa ageriko ote du glizerinaren kasuan ere? ala, arraste
beraren kasuan, abiadura handiagoz higituko ote da? Galderei
erantzuteko asmotan, glizerinaz beteriko zutabeen goiko aldetik,
modelo biak aldi berean askatuko ditugu. Biek lortu dute muga-
-abiadura hasiera-hasieratik. 15. irudian ikus daitekeenez, aerodi-
namikoagoa den gorputzaren muga-abiadura esferarena baino
askoz txikiagoa da. Beraz, egindako galderari dagokion erantzuna
"ez" da. Arraste berbera dutela suposatuz, gorputz aerodinami-
koaren abiadura txikiagoa da. Alderantziz, abiadura berean buru-
42 Forma eta fluxua
tutako arrastearen behaketak egingo bagenitu, gorputz aerodina-
mikoak arraste handiagoa ageriko lukeela behatuko genuke.
Emaitza hau aire-fluxuaren saiakuntzan ondorioztatu du-
gunaren guztiz kontrakoa da. Bien arteko aldea glizerinaren eta
airearen arteko funtsezko desberdintasunen batean ote datza, ala,
oro har, gasen eta likidoen arteko desberdintasunetan ote dago?
Edo, ba al dago higiduren legeak gidatzen dituen oinarrizko azal-
penik, zeinaren arabera ez dugun fluidoen arteko alde kualitatibo-
rik kontuan hartu behar?
Zenbait saiakuntza paradoxiko 43
14. irudia.
PARADOXEN LABURPENA
Eman diezaiegun gainbegiratutxo bat orain arteko saiakuntzei.
Lehenengo saiakuntzan ondokoa aurkitu dugu: abiaduraren gora-
penak, kasu batzuetan, arrastearen beherapena dakar ondorioz.
Bigarrenean, bestalde, honako hau ikusi dugu: abiadura-tarte kon-
kretuan esfera leunak arraste txikiagoa pairatu du, eta beste abia-
dura-tarte desberdin batean esfera latzak pairatu du arraste txikia-
goa. Azkenik, hirugarren eta laugarren saiakuntzetan, zenbait
baldintzaren pean, itxura aerodinamikoa emateak arrastea txikitu
du, eta beste batzuetan, aldiz, handitu egin du.
44 Forma eta fluxua
15. irudia. Forma aerodinamikodun modeloa
esfera baino astiroago erortzen da.
Emaitza hauek paradoxikoak dira, edo behintzat intuizioaren
aurka doaz. Baina arazoa oraindik korapilatsua agertzen zaigun
arren, egindako esperimentuak era ordenatuan eta logikoki azal
daitezke. Hala ere, modu bakarra dago, ikusitako guztiari ordena
eta logikotasuna ekartzeko: fluidoen dinamikaren funtsezko
kontzeptuei eta printzipioei ekitea.
Ingeniarientzako nahitaezkoa da logika hori aurkitzea, bestela
ez bailirateke gai izango, hegazkinak, ontziak, propultsatzaileak,
birfindegiak, zentral elektrikoak, suziriak, edo nolabait fluidoek
zeresana duten tresnak diseinatu eta hobetzerakoan aurkituko lituz-
keten arazo teknikoei aurre egiteko.
Zenbait saiakuntza paradoxiko 45
III. KAPITULUA
Fluidoen dinamikaren oinarrizko
kontzeptu eta printzipioak
FLUIDO JARRAITUAREN EREDUA
Ezaguna da materia --materia guztia, solidoa, likidoa zein
gaseosoa-- espazio hutsez banatutako milioika molekulez osatuta
dagoela. Hala ere, distantzia molekularrarekin alderatuz oso handia
den eskalan, jarraitutzat eta egitura gabekotzat har dezakegu
materia. Fluidoaren benetako molekula bakan guztiez aritu
beharrean, egiazko fluidoa bere "eredu fisikoa" deritzogunaz
ordezkatzea komeni zaigu. Eredu honetan ez dago ez molekularik
ezta egiturarik ere. Eredu jarraitua da, baina egiazko fluidoa
osatzen duten molekula zenbatezinen portaera estatistiko berdina
izan dezan, zenbait batezbesteko ezaugarri esleitu behar dizkiogu.
Eredu jarraituaren propietateetako bat fluidoaren dentsitatea
da. Har dezagun fluido-koskor bat, orratzaren puntan erortzeke
dagoen tanta baino askoz ere txikiagoa izan arren trilioika
molekula dituena. Fluido-koskorrari esleituko diogun batezbesteko
masa-dentsitatearen definizioa fluido-koskorrean dagoen molekula
guztien masa-kantitatearen eta molekulek betetzen duten bolume-
naren arteko zatidura da. Beste hitzetan, dentsitatea (masa-dentsi-
tatea, alegia) deritzon magnitudea, masa zati bolumena da.
Dinamikaren ikuspuntutik masa-dentsitatea propietate garran-
tzitsua da, fluidoak azeleratua izateko duen "inertzia-erresisten-
tzia"-ren neurria emango baitigu. 16 librako masa duen burdinazko
bola, jaurtitzaileak zero abiaduratik bere eskutik ateratzerakoan
duen abiadurara azeleratzeko, bere esku eta gorputzaz, izugarrizko
indarra egin behar dio. Aipatutako adibidean, jaurtitzailearen
bultzada, gorputz orok duen "inertzia" propietatearen adierazgarria
da. Inertzia gainditzeko eta gorputzaren abiadura aldatzeko indarra
aplikatu beharrak, gorputzek "azeleratuak izateari dioten inertzia-
-erresistentzia" kontzeptuaren esanahia dakarte. Zenbat eta fluidoa-
ren masa-dentsitatea handiagoa izan, hainbat eta indar handiagoa
eragin behar izango diogu fluido-koskorrari, azelerazio jakina har
dezan; hots, fluidoak inertzia-erresistentzia handiagoa izango du
azeleratua izateko.
Fluido jarraituari lotuta dagoen beste propietate jarraitu bat,
puntu jakinean duen abiadura da. Molekula indibidualak oso
modu konplexuan higitzen direnez, edozein unetan fluido-kosko-
rreko molekulek abiadura desberdinak dituzte. Beraz, bakoitzari
momentu lineal bakarra dagokio; hau da, molekulek masa eta
abiaduraren arteko biderkadura-balio desberdinak dituzte. Fluidoak
puntu jakinean duen abiadura, fluido-koskorra osatzen duten
molekula guztien momentu linealaren eta molekula hauen masa
osoaren arteko zatidura modura definituko dugu. Newton-en dina-
mikan erabil dezakegun batezbesteko abiadura da. Batez-besteko
abiaduraren eta fluido-koskorraren masa osoaren arteko biderka-
durak momentu osoa emango digu zuzenean, eta azken hau da
Newton-en higidura-legeekin erlazionatutako higiduraren propietate
garrantzitsua.
Geroago aztertuko ditugu fluido jarraituarekin lotutako beste
zenbait propietate. Orain aipatu beharrekoa, fluido-koskor edo
fluido-partikulek propietate ezberdinak izan ditzaketela kontuan
hartzea da. Adibidez, ondoko adibideetan argi ikus daitekeenez,
kasu bakoitzeko partikula guztiek ez dute higidura berbera: tximi-
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 47
niatik ateratzen den kea behatzerakoan, harraskan behera doan urari
so egiterakoan, gela eguzkitsuan konbekzio-korronteek mugiarazten
duten hautsari erreparatzerakoan, edozein zubiren zutabeen alda-
menetik pasatzen den ura edo kostaldean apurtzen diren olatuak
begiratzerakoan, argi ikusten da hori. Hain korapilatsuak diren
higidurak ulertzea errazagoa gerta dadin --hobeto esanda, posible
izan dadin--, fluido osoa ibilbide, historia eta propietate-multzo
bana duten puska txikietan zatiturik balego modura hartu beharra
dago. Identitate finkoa duten fluido-koskor horiei fluido-partikula
deritzegu.
FLUIDO-PARTIKULEN GAINEKO INDARRAK
Fluido-partikula guztiek Newton-en higiduraren legea betetzen
dute. Beraz, fluxuari buruz, bere osotasunean, asko ikas genezake
partikula tipikoaren dinamika aztertuz. Eman dezagun, kanilatik
ateratzen den ur-zurrustako ur-puska bat, bere jarraipena errazteko
asmoz, gorriz tindatzeko aukera dugula. Mentalki, fluido-partikula
hau inguruko uretatik isola dezagun eta pentsa dezagun partikula
horren gainean eragiten duten indarretan, eta indar hauek zein
eragin duten beraren higiduran, kanilatik atera, harraskan ibili eta
hustubidetik behera doanean.
Ideia hau konkretuago bihurtzeko asmoz, izugarri handitu-
tako eskalan, gure fluido-partikula ordezkatuko duen eta eskuan
har dezakegun zurezko kuboa erabil dezakegu. Gure kuboari (edo
fluido-partikulari) indar desberdin ugarik eragiten dioten arren, bi
mailatan sailka ditzakegu: gorputz-indarrak eta gainazal-indarrak.
Ondorengo taulan adieraziko ditugu:
48 Forma eta fluxua
FLUIDO-PARTIKULETAN ERAGITEN DUTEN
INDAR-MOTAK
1.GORPUTZ-INDARRAK (distantziara eragiten dute)
a) Grabitatorioa
b) Elektrikoa
c) Magnetikoa
2. GAINAZAL-INDARRAK (kontaktu zuzenez eragiten
dute)
Tentsio normala (presioa)
Ebakidura-tentsioa edo tentsio tangentziala
(marruskadura biskosoa)
GORPUTZ-INDARRAK
Gorputz-indarrak distantziara eragiten duten indar grabitatorioa,
indar elektrikoa eta indar magnetikoa dira. "Indar-eremuek" sor-
tutakoak dira. Materialean bertan eragina dutenez, gorputz-indarrak
deritzegu. Aztertutako fluido-partikula, orekan dagoen biltegiko
ur-partikula balitz (16. ird.), beherantz bultzatuko luke grabitateak.
Baina, argi dago biltegiko partikulek ez dutela higidurarik (esan
bezala, biltegiko fluidoa orekan baitago), eta beraz, beste indarren
batek orekatu beharko du partikularen pisua, azeleratua izan ez
dadin.
GAINAZAL-INDARRAK
Aipatutako beste indar horiek, gainazal-indarrak dira. Gorputz-
-indarrek distantziara eragiten duten moduan, gainazal-indarrek
partikularen eta inguruaren arteko kontaktu zuzenez eragiten dute.
Benetan ukitzen duen inguruko fluidoak, zuzenean bere sei aldee-
tako gainazaletan eragiten dio kuboari, izenak berak adierazten
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 49
duen moduan. Indar normalak gainazalarekiko elkarzutak dira;
mahai gainean geldirik dagoen metalezko kubo pisutsuaren
behealdeari, mahaiak gorantz egiten dion bultzadaren modukoak.
Ebakidura-indarrak berriz, gainazalarekiko tangentzialak dira, hau
da, beren norabidea gainazalarekiko paraleloa da; mahai gaineko
metalezko kubo pisutsua guk bultzatu ondoren, mahaiak berak
kuboaren azpiko aldeari eragiten dion marruskadura-indarraren
moduan.
Indar normalei dagokienez, kuboaren alde bakoitzean, kuboa-
ren barneko fluidoak eta kanpoko fluidoak indar bereko aurkako
indarrak eragiten dituzte (17. ird.).
50 Forma eta fluxua
16. irudia. Zurezko blokeak, biltegian dagoen fluido-
-partikula ordezkatzen du. Azeleraziorik gabeko blokea
denez, grabitatea orekatzen duen indarrak egon behar
du.
TENTSIO NORMALAK EDO PRESIOAK ERAGINDAKO
GAINAZAL-INDARRAK
Azter dezagun fluido-partikula tipikoa ordezkatzen duen kuboaren
gainazal bat. Oraingoz, gainazal horrekiko eragin elkarzuta duen
indarra baino ez dugu kontuan hartuko. Zenbat eta gainazalaren
azalera handiagoa izan, hainbat eta handiagoa izango da haren gai-
neko gainazal-indarraren balioa; beraz, komenigarria da gainazal-
-unitateko indarra kontsideratzea. Indar normalaren eta azaleraren
arteko zatidurari, tentsio normal edo presioa deritzogu. Adibidez,
20 librako indarra 10 hazbete karratuko azalerako gainazalean
aplikatuz gero, batezbesteko tentsioa edo presioa 2 libra hazbete
karratuko baliokoa da. 18. irudian, gainazalean zehar hedaturik
dagoen tentsioak duen izaera banatua, gezi askoren bidez adierazi
da.
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 51
17. irudia. Partikula beltzaren mugetan, partikula
beltzaren eta berau inguratzen duten partikula
argiagoek balio bereko baina aurkako gainazal-indar
normalak eragiten dituzte.
Orain, demagun beste aldeko gainazalean ere 20 librako
indarra aplikatu dugula (19a ird.). Beraz, indar biek elkar
orekatuko dute eta partikula azeleratuko duen indar netorik ez da
egongo. Aurrekoak ondorio garrantzitsua agertzen digu, hots,
edozein gainazaletan aplikatutako presioak ez duela, berez,
partikularen dinamikaren gaineko eraginik. Aldiz, demagun 30
librako indarra aplikatu dugula bigarren gainazalean (19b ird.).
Kasu honetan, partikula azeleratuko duen 10 librako indar desore-
katu netoa dago. Fluidoaren higidurari dagokionez behintzat,
presio-diferentziak dira kontuan hartu beharrekoak, eta ez presioa
bera. Fluidoaren bolumen-unitateko presio-indar netoa, aurrez aurre
dauden gainazalen arteko presio-diferentziarekiko proportzionala
da, eta gainazalen arteko distantziarekiko alderantziz proportzio-
nala. Distantziarekiko presio-aldaketaren neurriak, presio-gradien-
tea deritzogunak, presioaren eremuak fluidoaren higiduran duen
eragin garbia finkatuko du.
52 Forma eta fluxua
18. irudia. Irudikatutako geziek, fluido-partikula
tipikoa ordezkatzen duen kuboaren alde batean eragiten
duen presio edo tentsio normala erakusten dute.
Itzul gaitezen biltegian geldirik dagoen partikula ordezka-
tzeko erabili dugun kubora (20. ird.). Kuboaren pisua --lurraren
eremu grabitatorioak kuboan eragiten duen indarra--, kuboaren
behealdeko presioa goialdekoa baino handiagoa bada oreka dai-
teke. Hots, oreka estatikoa izateko, presio-gradientea beharrezkoa
da eta presioa sakonerarekin handituko da. Behealdean eta
goialdean eragiten duten presioen arteko diferentziak, fluidoan
murgilduta dagoen gorputzaren gaineko bultzada sortzen du.
Arkimedes-en printzipioa izenaz ezagutzen dena, oraindik
oinarrizkoagoa den legearen ondorio logikoa da. Guk geuk ere
erraz nabari dezakegu sakonerarekin bat dagoen presioaren
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 53
19. irudia. (a) Aurrez aurre dauden gainazaletako
presioak berdinak direnean, ez dago partikula azelera-
tuko duen indar netorik, eta presioaren balioak ez du
garrantzirik. (b) Aurrez aurre dauden gainazaletako
presioak berdinak ez direnean, partikula azeleratuko
duen indar netoa dago.
handitze hori --presio-neurgailu ezin hobeak diren tinpanoen
bidez--, uretan hondoratzean. Presioa sakonerarekin handitzearen
eragina, presaren horma apur dezakeen indar suntsitzailea izan dai-
teke, edo beste aldetik, itsasontziak ur gainean iraunarazteko beha-
rrezkoa duen indar laguntzailea.
54 Forma eta fluxua
20. irudia. Geldirik dagoen fluido-partikularen pisua,
behealde eta goialdeko gainazaletako presioen arteko
diferentziak orekatzen du.
Gorputz-indarren eta gainazal-indarren arteko oreka estati-
koaren beste adibide bat, lehenengo saiakuntzan erabili dugun eta
presioa, edo hobeto esateko, presio-diferentzia neurtzeko erabili
ohi den U-itxurako hodiz egindako manometroa da. 21. irudian
ikus daitekeenez, eskuineko hodi-muturra eguratsera irekita dago.
Ezkerreko hodi-muturrean presio handiagoa aplikatzean, maila-
-diferentzia agertuko da. Oreka estatikoan, eskuineko likido-zutabe
desorekatuaren pisua, zutabe beraren behealdeko presio handiaren
eta goialdeko egurats-presioaren arteko diferentziaren bidez oreka-
tuko da.
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 55
21. irudia. U-itxurako manometroa presio-diferentziak
neurtzeko erabiltzen da. Likido-zutabe desorekatuaren
pisua, zutabearen zeharkako sekzioak jasaten duen
presio-diferentziak orekatzen du.
Har dezagun berriro, fluido-partikula ordezkatzen duen blokea,
eta demagun orain presio-diferentzia norabide horizontalean
dugula, alde bateko presioa bestekoa baino txikiagoa delarik (22.
ird.). Grabitateak beheraka eragiten du, eta beraz, ez du indar
horizontalen orekatzean inolako eraginik. Presio-indar netoak, hau
da, aurkakoak diren presioen diferentziak, azelerazio horizontala
ekarriko du, Newton-en higiduraren legeari jarraituz. Gezi handiak
(22. ird.) azelerazioaren magnitudea adierazten du.
23. irudiak saiakuntza adierazgarria erakusten du. Beirazko
hodi horizontalean dugun likidoan, likido-zatitxoa bat koloreztatu
dugu. U-itxurako hodiaren eskuinaldea eguratsera zabalik eta
ezkerreko aldeak gomazko poltsatxo txikira ematen du. Gomazko
poltsatxoa presionatzerakoan, ezkerraldeko presio-handitzeak
likido-apurra, ia ikusezin bihurtzen duen abiaduraz, eskuinerantz
azeleratuko du.
56 Forma eta fluxua
22. irudia. Aurrez aurre dauden gainazalen presio-
-diferentziak dakarren azelerazioa adierazten du gezi
zuriak.
FORMA-ALDAKETAREN AURKAKO ERRESISTENTZIA
BISKOSOA SORTZEN DUTEN EBAKIDURA-TENTSIOAK
Orain arte, fluido-partikularen aurpegiekiko eragin elkarzuta duten
gainazal-tentsioak aztertu ditugu soilik. Are gehiago, fluido-
-partikula, zurezko blokearen modura, zurruntzat hartu dugu, eta
beraz, biratu eta desplazatu arren, itxuraz deformatzen ez dela
kontsideratu dugu orain arte. Egia esan, partikulek forma-
-deformazio handiak paira ditzakete eta pairatzen dituzte, askotan
goma-aparrak baino errazago (24. ird.). Dena den, goma-aparraren
modu berean, fluido-partikulek forma-deformazioaren aurkako
erresistentzia dute. Baina, solidoak eginiko erresistentzia, distortsio-
-mailaren araberakoa bada, fluidoaren forma-aldaketaren kontrako
erresistentzia distortsio-abiaduraren menpekoa da. Deformatua
izateko erresistentzia-magnitudearen adierazgarri den fluido-
-propietateari biskositatea deritzogu. Zenbait fluidok, urak
esaterako, biskositate erlatibo txikia dute, eta beste batzuk aldiz,
arto-siropak edo melazak esaterako, biskositate handia dute.
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 57
23. irudia. Orekatu gabeko presio-gradienteak eragiten
duen azelerazioa erakusteko saiakuntza sinplea.
BISKOSITATEA ZER DEN
Ondoren, biskositatearen esanahia zehatzago eta kuantitatiboki
finkatuko dugu. Demagun hasieran kubo-itxura duen fluido-puska
deformatu dugula (25. ird.). Deformazio hori neurtzeko, hasieran
bi aldeek zuten angelu zuzena (lerro etena) eta bukaeran alde berek
duten angelu zeiharraren (lerro jarraitua) arteko (alfa) angelua
erabiliko dugu. Erresistentzia biskosoa, zeharkako deformazioa
abiadura jakinean sorrarazteko egin beharreko ebakidura-tentsioak
58 Forma eta fluxua
24. irudia. Indar tangentzial edo ebakidura-indar
handiak aplikatuz gero, goma-aparrezko blokeak defor-
mazio handiak paira ditzake.
25. irudia. Biskositatearen definizioa.
Ebakidura-tentsioa
Ebakidura-tentsioa
Deformaturiko forma
Jatorrizko forma
edo tentsio tangentzialak emango digu. Fluidoaren biskositatea,
aipatutako gertakari bien erlazio modura definituko dugu, "kausa"
edo "ondorioa" edozein izan daitekeelarik:
ebakidura-tentsioa
Biskositatea =
angeluaren aldaketa-abiadura
EZ-LABAINTZEAREN EZAUGARRIA
Biskositateari buruzko beste ezaugarri garrantzitsu bat ezagutu
behar zenuke: solidoaren gainazala ukitzen dagoen fluidoa ezin da
gainazalarekiko labaindu. Aurrekoaren ondorio harrigarri baina
egiazkoa ondokoa da: gainazalaren material-motak --egurra,
metala, beira zein plastikoa izan-- ezin du fluidoaren portaera
biskosoa edo fluidoan zeharreko higiduraren kontrako erresis-
tentzia aldatu. Honek galdera interesgarria dakarkigu. Ezaguna da
urak ez duela argizaria "bustitzen"; argizarizko gainazalean ura
isurtzean, ura ez da gainazalean zehar hedatuko, baizik eta,
nolabait esatearren, "uzkurtu" egingo da eta ia esferikoa den forma
hartuko du. Testuinguru horretan ura argizarian "itsasten" ez dela
esan ohi da. Beraz, etxeko edozein hodiren barnealdean argizariz-
ko estaldura jarriz gero, presio baxuagoa behar izango al zenuke
abiadura jakinez hodian zehar ura zirkularazteko? Ez! Aipatutako
bustidura-fenomenoa gainazal-tentsioarekin lotuta dago, eta
argizarizko estaldura duen hodiak fluidoaren eta solidoaren mugen
arteko higidura erlatiborik ezaren legea bete egingo du. Beraz,
biskositatearen testuinguruan ura argizarian itsatsi egingo da.
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 59
60 Forma eta fluxua
26. irudia. Fluidoak solidoaren mugarekiko labaintzen
ez direla erakusteko saiakuntza. (a) Tresneria. (b)
Orratz hipodermikoaz fluidoan markatutako lerroa.
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 61
(c) Barneko zilindroa biraraztean fluido-lerroaren
puntak zilindroan itsatsirik dirau. (d) Tentsio biskosoek
fluidoan zehar hedatuko dute barneko zilindroaren
higidura.
26a irudian glizerinaz betetako ontzi zirkularra agertzen da.
Ontziaren erdian, biraraz daitekeen zilindroa dago. Orratz hipoder-
mikoaren bidez, koloreztatutako glizerinazko lerroa markatuko
dugu fluidoaren zenbait partikula identifikatzeko (26b ird.). Barne-
ko zilindroa biraraztean, bere gainazala ukitzen dagoen fluidoa
gainazalarekin bat eginik higituko dela ikus daiteke (26c ird.), eta,
beraz, ez dago labainketarik. Tentsio biskosoen eraginez, zilin-
droaren aldamenean ez dagoen fluidoa higitu egingo da, baina
zilindrotik zenbat eta distantzia handiagora dagoen, hainbat eta
abiadura baxuagoz.
27. irudian lauki-itxura duen fluido-partikula markatu dugu
orratzaren bidez. Berriro ere, barneko zilindroa biraraztean, parti-
kula horrek paralelogramo-forma emango dion ebakidura-defor-
mazioa jasango du (27b ird.). Ontziko partikula guztiek jasango
dute deformazio hori. Biskositatearen eraginez, fluidoko partikulek
62 Forma eta fluxua
27. irudia. Fluidoaren ebakidura-deformazioak. (a)
Partikula-lauki markatu berria.
deformazioaren kontrako erresistentzia agertuko dute, eta, beraz,
barneko zilindroa abiadura jakinez birarazi nahi badugu, momentua
aplikatu beharko diogu.
Aipatutako printzipioan oinarriturik dagoen biskositate-
-neurgailua erakusten da 28. irudian. Motor elektrikoak ezaguna
den abiaduraz birarazten du ontziko fluidoan murgildurik dagoen
zilindroa. Zilindroa birarazteko beharrezkoa den momentua, mal-
gukiaren bidez neurtzen da, eta eskalan irakurtzen da. Abiadura,
momentua eta zilindro birakorraren dimentsioa erabiliz, barneko
zilindroaren gaineko ebakidura-tentsioa zehazteaz gain, ebakidura-
-deformazioaren abiadura ere kalkula daiteke. Hauek dira, hain
zuzen ere, 59. orrialdeko formulan biskositatearen balioa kalkula-
tzeko behar ditugun balioak.
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 63
(b) Barruko zilindroak bira egitean, partikula-laukia
paralelogramo bilakatzen da. Indar tangentzialak behar
dira holako ebakidura-deformazioa abiadura jakinean
sortzeko.
64 Forma eta fluxua
28. irudia. Biskositate-neurgailu komertziala.
(Brookfield Engineering Co.)
PRESIOAREN ERAGINA MARRUSKADURA BISKOSOAN
Fluidoen marruskadura biskosoak espero ez den beste propie-
taterik ere badu. Solido biren arteko marruskadura-erresistentzia,
ukipeneko presio normalaren menpekoa da. Mahaiaren gainean
dagoen liburua bultzatuz gero, liburua mahaiaren kontra zenbat eta
indartsuago sakatu, marruskadura-erresistentziaren balioa hainbat
eta handiagoa izango da. Baina fluidoetan agertuko den erresisten-
tzia biskosoa ia-ia presioarekiko independentea da. Agertuko duen
menpekotasun bakarra, fluido-partikulen forma-aldaketaren abia-
durarekikoa da. Adibidez, hodian zehar higituko den urak agertuko
duen marruskadura-erresistentzia ia berbera da, uraren hodiaren
hormaren kontrako presioa 10.000 libra hazbete karratuko baliokoa
denean, zein 1 libra hazbete karratukoa denean, fluxuaren abiadura
berbera dela emanik. Gaur egun, onartuta dago likidoetako ebaki-
dura-tentsio biskosoek ez dutela likidoaren presioarekiko menpe-
kotasunik. Baina hau ez da ez begi-bistakoa. Leonhard Euler-ek
berak --gaur egungo fluido-dinamika arrazionalaren aitak--, ho-
dien hormetako marruskadura-tentsioak hormetako presio norma-
laren menpekoak zirela uste izan zuen, solido biren arteko Cou-
lomb-en marruskadura-koefizienteari gertatzen zaion modu berean.
NEWTON-EN HIGIDURA-LEGEA
Jada prest gaude orain arte aipatutako indarrek --gorputz-indarrek,
presio-indarrek eta biskositate-indarrek--, fluidoaren higiduran
duten eraginari buruz hausnarketa egiten hasteko.
Lehenik, esan dezagun gure saiakuntzetan ez dugula grabi-
tatea kontuan hartu behar. Bigarren kapituluko lau saiakuntzetan,
fluidoaren pisu grabitatorioak sakonean sortutako presioaren
gehikuntzak objektuen itxurazko pisua gutxitzen duen bultzada
sortu du. Dena den, guk neurtu duguna pisu netoa izan da, eta,
beraz, aipatutako saiakuntza guztietan grabitatea automatikoki
hartu dugu kontuan. Beste gorputz-indarrei dagokienez, elektri-
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 65
koak eta magnetikoak, ez dute saiakuntzetan eraginik izan. Horren
guztiaren ondorioz, gainazal-indarrak baino ez ditugu kontuan
hartu behar, hots, presio-indarrak eta biskositate-indarrak.
Gainazal-indar horiek biek fluido-partikularen higiduran duten
eragina, Newton-en higiduraren legeak ematen digu. Indar biak
bektoreak dira, hots, beren ezaugarriak zehazteko, norabidea eta
magnitudea ezagutu behar ditugu. Bi indarren arteko batura bek-
toriala, hau da, bien arteko erresultantea, paralelogramoaren legea
erabiliz lortuko dugu (29. ird.). Indar erresultante horren balioa
partikularen masaren eta azelerazioaren arteko biderkadura da;
masa-unitateko partikularen kasuan, azelerazioa bera zuzenean.
Aldiuneko indarrek sortutako aldiuneko azelerazioek, ibilbidearen
hurrengo unean partikulak izango duen higidura zehaztuko dute,
eta horrela bere ibilbidearen une guztietan. Bide batez, esan deza-
gun partikularen higiduraren norabideak ez duela zertan azelerazio-
-bektorearen norabidearekin bat etorri, ezta bi indarren bektoreen
norabideekin ere.
66 Forma eta fluxua
29. irudia.
Indar erresultatea
(Masa-unitatearen azelerazioa)
Biskositate-indar netoa
Presio-indar netoa
30. irudiak indarren paralelogramoa eta Newton-en higidura-
ren legea erakusten du. Eskuinaldeko gaiari, masaren eta azelera-
zioaren arteko biderkadurari, inertzia-indarra deritzo. Normalean,
inertzia-indarrari esleitutako bektorearen noranzkoa azelerazio-
bektorearen aurkako noranzkoan adierazten da. Hori, indar iner-
tzialaren kontzeptuarekin bat dator; hots, azeleratua izateari masak
egindako erresistentzia adierazten du. Noranzkoen hitzarmen
honen arabera, inertzia-indarrak, biskositate-indar netoa eta presio-
-indar netoaren batura bektoriala orekatu behar du. Beste hitz
batzuetan, hiru indarren arteko --presio-indarra, biskositate-indarra
eta inertzia-indarra-- bektore-baturak nulua behar du izan.
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 67
30. irudia.
PRESIO-INDAR
NETOA
BISKOSITATE-INDAR
NETOA
INERTZIA-
-INDARRA
Inertzia-indarra
Biskositate-indar
netoa
Presio-indar
netoa
(Masa × Azel.)
Gure helburua ez da fluidoetako fluxua ulertzeko matematika
asko erabiltzea. Nahikoa da ondoko hiru kantitateen arteko
orekaren kontzeptuan zertxobait sakontzea, benetan asko ikasteko:
presio-indar netoa, biskositate-indar netoa eta inertzia-indarra.
Izaera desberdin eta korapilatsuetako fluidoetako fluxu-fenome-
noen ulermena, egoera bakoitzean hiru indarren garrantzi erlatiboa
desberdina dela konturatzean datza.
Adibidez, demagun oso biskositate baxuko fluidoa dugula.
Orduan, abiadura-eskala jakinean higidura aztertzean, biskositate-
-indarrak oso txikiak izango dira indar inertzialekin alderatuz.
Kasu honetan, helburu praktikoetarako, biskositate-indarrak guztiz
arbuiagarriak izango dira, eta ondorioz, presio-indarraren eta indar
inertzialaren arteko orekatzea ematen da. Newton-en ekuazioak bi
gai baino ez ditu (31. ird.), eta bektore-diagraman indar biek elkar
anulatu behar dute.
68 Forma eta fluxua
31. irudia. Indarren paralelogramoa eta Newton-en
higiduraren legea, biskositate-indarrak arbuiagarriak
direnean.
PRESIO-INDAR
NETOA
INERTZIA-
-INDARRA
Inertzia-indarra
Presio-indar
netoa
O
Biskositate txikiko fluidoen ondoren, azter ditzagun orain
biskositate handiko fluidoak. Abiadura-eskala jakinean agertuko
diren biskositate-indarrak hain izango dira handiak, ezen fluidoa-
ren azelerazioarekin lotuta dauden indar inertzialak guztiz estaliko
dituzten. Helburu praktikoei dagokienez, indar inertzialak izango
dira orain arbuia daitezkeenak, eta ondorioz, presio-indarraren eta
biskositate-indarraren arteko oreka soila geratuko zaigu (32. ird.).
Bektore-diagraman, aipatutako bi indarrek berdinak eta kontrako
noranzkodunak izan behar dute.
Erabilitako bi muga-kasuez hausnarketa egitea lagungarri
gerta daiteke, biskositate-indarraren eta indar inertzialaren garran-
tzien arteko erlazioak fluxu-mota sailkatzen lagunduko digulako.
Gainera, honek ondorio erabilgarriagoetara eramango gaitu, ondo-
ren ikusiko dugunez.
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 69
32. irudia. Indarren paralelogramoa eta Newton-en
higiduraren legea fluido oso biskosoen kasuan.
PRESIO-INDAR
NETOA
BISKOSITATE-INDAR
NETOA
Biskositate-indar
netoa
Presio-indar
netoa
O
ANTZEKOTASUN DINAMIKOA ETA REYNOLDS ZENBAKIA
Indarren arteko erlazioaren garrantzia antzekotasun dinami-
koa deritzogun kontzeptuarekin dago loturik. 33. irudian tamaina
desberdineko zenbait objektu agertzen dira. Hala ere, objektu guz-
tiek forma berbera dutenez, geometrikoki antzekoak direla esango
dugu. Hegazkinen eta itsasontzien eskalara egindako modeloak,
tamaina errealekoen antzekoak dira geometrikoki.
Demagun tamaina desberdinekoak baina geometrikoki
antzekoak diren modeloen multzoarekin zenbait arraste-saiakuntza
egin dugula. Antzekotasun geometrikoa dela eta, saiakuntzan
erabilitako modeloei, beren tamaina adieraziko duen dimentsio
bakar bat eslei diezaiekegu, beren luzera esaterako. Egin beharreko
saiakuntza bakoitzean fluxuaren abiadura desberdina izan daiteke.
Gainera, saiakuntzetan fluido desberdinak erabil ditzakegu; airea,
ura, olioa, etab. Fluidoaren higidurari dagokionez, propietate
mekaniko garrantzitsuak ondokoak dira: lehenik dentsitatea, zeina
fluidoaren inertziaren neurria den, eta bigarrenik biskositatea,
zeinak forma-distortsioaren kontrako fluidoaren marruskadura-
-erresistentzia finkatuko digun. Ohiko tenperaturetan, airearen eta
uraren aipatutako propietateen balioak adierazi dira 34. irudian.
Taula berean, saiakuntza desberdinetako luzera eta fluxuaren
70 Forma eta fluxua
33 irudia.
abiadurak idazteko zutabeak ere agertzen dira. Dentsitatea eta
biskositatea aldatu diren modu berean, luzera eta abiadura ere tarte
zabaletan alda daitezke.
Luzera, abiadura, dentsitatea eta biskositatea aldatuz gauzatu
ditzakegun saiakuntzen kopurua infinitua da, izatez. Gainera,
saiakuntza horiek guztiak, bata bestearekiko fisikoki guztiz desber-
dinak direla dirudi; galipota, merkurioa, airea edo kerosenoa beza-
lako fluido desberdinak erabil ditzakegulako; oinbetearen hamar
milioirenetik ehunka oinbeteko tartean luzera desberdinak izan
ditzakegulako; eta abiadura ere, orduko hazbetetik, segundoko
ehunka oinbetetara alda daitekeelako. Oro har, elkarren arteko
erlaziorik gabeko saiakuntzak dira. Demagun, eginiko bi saiakuntza
edo gehiagotan, geometrikoki antzekoak diren kokapenetan, neur-
tutako indarren orekatzean parte hartzen duten kantitateen --bis-
kositate-indar netoa, presio-indar netoa eta inertzia-indar netoa--
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 71
34. irudia. Geometrikoki antzekoak diren zenbait modelorekin,
antzekotasun dinamikoaren printzipioa ulertzeko egindako
saiakuntza-multzoan erabilitako aldagai garrantzitsuenen taula.
arteko zatidurak balio berberekoa direla, modeloen magnitudeak
berdinak izan ez arren. Saiakuntza berezi horiek dinamikoki antze-
koak direla esan ohi da. Newton-en dinamikari dagokionez behin-
tzat, saiakuntza berdinak dira.
Luzera, abiadura, dentsitatea eta biskositatearen arteko konbi-
nazio berezi horiek, zenbaki-balio bera ematen duten kasuan, eta
kasu horretan soilik, geometrikoki antzekoak diren gorputzekin
egindako saiakuntzak dinamikoki antzekoak direla esan dezakegu.
Konbinazio berezi hori Reynolds zenbakia da.
Dentsitatea × Abiadura × Luzera
Reynolds zenbakia =
Biskositatea
D × V × L
=
B
Izen hori Osborne Reynolds ingeniari-zientzialariaren omenez
eman zaio, berak eman baitzuen ideiaren lehen arrastoa, XIX.
mendearen bigarren erdialdean.
72 Forma eta fluxua
REYNOLDS ZENBAKIAREN JATORRIA
Fluxuaren inguruko saiakuntza-multzotik, geometrikoki antzekoak
diren gorputzekin egindako edozein saiakuntza zehazteko, nahikoa
da V abiadura, L gorputzaren luzera, D fluidoaren dentsitatea eta B
fluidoaren biskositatea ezagutzea.
Ikuspuntu berezia erabili behar dugu orain. Fluido-partikula
bakoitzean eragina duten indarren balio zehatzak kontuan hartu
beharrean, indar horien neurri orokorraren "magnitude-heinaren"
estimazioarekin konformatuko gara. Oso zehatza ez izateak ez
gaitu gehiegi kezkatu behar. Esaterako, arkakusoaren indarra
ontzaren milarenekoetan neurtzen den arren, lokomotorraren
indarra milaka toneladatan neurtzen da. Nahiz eta ez dugun esan
arkakusoak ontzaren zenbat milareneko indarra duen edo lokomo-
torrak zenbat toneladako indar zehatza duen, lasai baiezta genezake
beraien indarren arteko erlazioa 109 "heinekoa" dela, hots mila
milioi bat ingurukoa. Magnitude-ordenaren ikuspegiarekin ez gara
magnitudeen balio zehatzez arduratuko, eta zuzentzat emango
dugu koma hamartarra leku egokian kokatzen badugu.
Gure saiakuntzetako fluido-partikula tipikoan eragina duen
indar inertzialaren balioa partikularen masaren eta azelerazioaren
arteko biderkadurak finkatuko du. Definizioaren arabera, bolumen-
-unitateko masa-kantitatea D dentsitatea da, eta partikularen
bolumena luzera-eskalaren kuboaren proportzionala da; beraz, ma-
sa DL3-ren proportzionala da. Azelerazioa, abiadura-aldaketaren
eta aldaketa gertatu deneko den-bora-tartearen arteko zatidura da.
Gorputzaren inguruan fluidoak izango duen azelerazioaren eta
dezelerazioaren aldaketak, V abiadura beraren magnitude-ordena-
koak izango dira. Denbora-tartearen ordena, V abiaduraz partikula
tipikoak L luzera zeharkatzeko behar duen denbora izango da;
Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 73
hots, L/V. Beraz, azelerazioaren magnitudea V zati L/V delakoaren
proportzionala da, hau da, V2/L-ren proportzionala. DL3 masaren
eta V2/L azelerazioaren arteko biderkaForma eta fluxua: Arrastearen fluido-dinamika (itzulpena)